人教版专题10 解三角形（教师版）.docx

专题10 解三角形
1．【2022年全国甲卷】沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的AB中点，D在AB上，CD⊥AB．“会圆术”给出AB的弧长的近似值s的计算公式：s=AB+CD2OA．当OA=2,∠AOB=60°时，s=（       ）
A．11−332 B．11−432 C．9−332 D．9−432
【答案】B
【解析】
【分析】
连接OC，分别求出AB,OC,CD，再根据题中公式即可得出答案.
【详解】
解：如图，连接OC，
因为C是AB的中点，
所以OC⊥AB，
又CD⊥AB，所以O,C,D三点共线，
即OD=OA=OB=2，
又∠AOB=60°，
所以AB=OA=OB=2，
则OC=3，故CD=2−3，
所以s=AB+CD2OA=2+2−322=11−432.
故选：B.
2．【2021年甲卷文科】在中，已知，，，则（       ）
A．1 B． C． D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.
【详解】
设，
结合余弦定理：可得：，
即：，解得：（舍去），
故.
故选：D.
【点睛】
利用余弦定理及其推论解三角形的类型：
(1)已知三角形的三条边求三个角；
(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；
(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．
3．【2021年乙卷理科】魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（       ）
A．表高 B．表高
C．表距 D．表距
【答案】A
【解析】
【分析】
利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．
【详解】
如图所示：
由平面相似可知，，而 ，所以
，而 ，
即＝ ．
故选：A.
【点睛】
本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出．
4．【2020年新课标3卷理科】在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知条件结合余弦定理求得，再根据，即可求得答案.
【详解】
在中，，，
根据余弦定理：
可得 ，即
由
故.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
5．【2019年新课标1卷文科】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则=
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
利用余弦定理推论得出a，b，c关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.
【详解】
详解：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得
，故选A．
【点睛】
本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．
6．【2018年新课标2卷理科】在中，,BC=1,AC=5，则AB=
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【详解】
分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.
详解：因为
所以，选A.
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.
7．【2018年新课标3卷理科】的内角的对边分别为，，，若的面积为，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【详解】
分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得．
详解：由题可知
所以
由余弦定理
所以
故选C.
点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理．
8．【2022年全国甲卷】已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD．当ACAB取得最小值时，BD=________．
【答案】3−1##−1+3
【解析】
【分析】
设CD=2BD=2m>0，利用余弦定理表示出AC2AB2后，结合基本不等式即可得解.
【详解】
设CD=2BD=2m>0，
则在△ABD中，AB2=BD2+AD2−2BD⋅ADcos∠ADB=m2+4+2m，
在△ACD中，AC2=CD2+AD2−2CD⋅ADcos∠ADC=4m2+4−4m，
所以AC2AB2=4m2+