人教版专题10-1 极坐标与参数方程题型归类（讲+练）-2023年高考数学二轮复习讲练测（全国通用）（解析版）.docx

专题10-1 极坐标与参数方程题型归类
目录
讲高考 1
题型全归纳 3
【题型一】极坐标1：三线及三线段型 3
【题型二】极坐标2：极坐标求面积型 6
【题型三】极坐标3：极坐标最值型 8
【题型四】极坐标4：面积最值 11
【题型五】极坐标5：极坐标求轨迹型 15
【题型六】参数方程1：三等分点型 18
【题型七】参数方程2：参数点型 21
【题型八】参数方程3：最值 求参 23
【题型九】参数方程4：复杂参数型最值与范围 26
【题型十】参数方程5：取得最值时求对应点的坐标型 29
【题型十一】参数方程6：交点求参数型 32
专题训练 35
讲高考

1.（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．
(1)写出l的直角坐标方程；
(2)若l与C有公共点，求m的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；
（2）方法一：联立l与C的方程，采用换元法处理，根据新设a的取值范围求解m的范围即可.
【详解】（1）因为l：，所以，
又因为，所以化简为，
整理得l的直角坐标方程：
（2）[方法一]：【最优解】参数方程
联立l与C的方程，即将，代入中，
可得，
化简为，
要使l与C有公共点，则有解，
令，则，令，，
对称轴为，开口向上，
，
，
，即m的取值范围为.
[方法二]：直角坐标方程
由曲线的参数方程为，为参数，消去参数，可得，
联立，得，即，即有，即，的取值范围是．
【整体点评】方法一：利用参数方程以及换元，转化为两个函数的图象有交点，是该题的最优解；
方法二：通过消参转化为直线与抛物线的位置关系，再转化为二次函数在闭区间上的值域，与方法一本质上差不多，但容易忽视的范围限制而出错．
2．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
【答案】（1）；；（2）
【分析】（1）利用代入消元法，可求得的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值.
【详解】（1）由得：，又
整理可得的直角坐标方程为：
又，
的直角坐标方程为：
（2）设上点的坐标为：
则上的点到直线的距离
当时，取最小值
则
【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.
3．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））已知曲线，直线：（为参数）.
（I）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；
（II）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，的最大值与最小值．
【答案】（I）；（II）最大值为，最小值为.
【详解】试题分析：（I）由椭圆的标准方程设，得椭圆的参数方程为，消去参数即得直线的普通方程为；（II）关键是处理好与角的关系．过点作与垂直的直线，垂足为，则在中，，故将的最大值与最小值问题转化为椭圆上的点，到定直线的最大值与最小值问题处理．
试题解析：（I）曲线C的参数方程为（为参数）．直线的普通方程为．
（II）曲线C上任意一点到的距离为．则
．其中为锐角，且．
当时，取到最大值，最大值为．
当时，取到最小值，最小值为．
题型全归纳
【题型一】极坐标1：三线及三线段型
【讲题型】
例题1.在极坐标系下，曲线E的极坐标方程为：
(1)以极坐标系的极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，求E直角坐标方程，并说明E的轨迹是什么图形；
(2)A，B，C为曲线E上不同的三点，O为极点，，证明：为定值．
【答案】(1)，轨迹为椭圆(2)证明见解析
【分析】（1）根据极坐标方程直接转化为直角坐标系方程即可，随之可判断曲线的轨迹图形；
（2）根据极坐标方程结合极径的几何意义即可证明结论.
【详解】（1）解：，所以，则
所以，整理得：，轨迹为椭圆.
（2）解：设，
则
所以：
.
即为定值2.
例题2.在直角坐标系中，曲线的方程为，曲线的方程为以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直