人教版专题14 解析几何中的轨迹问题（解析版）.docx

专题14 解析几何中的轨迹问题
一、核心先导
二、考点再现
【考点1】动点轨迹问题解题策略
、直译法：一般步骤为：
①建系,建立适当的坐标系；
②设点,设轨迹上的任一点P(x，y)；
③列式,列出动点P所满足的关系式；
④代换,依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简；
⑤证明,证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.
(2)、定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；
(3)、代入法(相关点法)：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程；
(4)、参数法：当动点P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．
三、解法解密
方法一 解轨迹问题注意
（1）、求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.
（2）、要验证曲线上的点是否都满足方程，以方程解为坐标点是否都在曲线上，补上在曲线上而不满足方程解得点，去掉满足方程的解而不再曲线上的点.
四、考点解密
题型【一】、定义法求曲线的轨迹方程
定义法：
如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
C
B
y
x
O
A
例1、 已知中，、、的对边分别为、、，若依次构成等差数列，且，，求顶点的轨迹方程.
【解析】：如右图，以直线为轴，线段的中点为原点建立直角坐标系. 由题意，构成等差数列，（两定点的距离等于定长—椭圆），即，又，的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，，，故的轨迹方程为
例2、【2016高考新课标1卷】设圆的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.
（I）证明为定值,并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.
则,.
所以.
过点且与垂直的直线：,到的距离为,所以
.故四边形的面积
.
可得当与轴不垂直时,四边形面积的取值范围为.
当与轴垂直时,其方程为,,,四边形的面积为12.
综上,四边形面积的取值范围为.
题型【二】、点差法（设而不求）
例3．（2021·沙坪坝·重庆一中高三月考）过点的直线与抛物线交于P、Q两点.
（1）求线段PQ的中点B的轨迹方程；
（2）抛物线C的焦点为F，若，求直线l的斜率的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）设，，，代入抛物线方程中，再根据中点坐标公式可求得以线段PQ的中点B的轨迹方程.
（2）设直线，与抛物线联立，得出根与系数的关系，再运用向量的夹角运算公式表示又，根据余弦函数的单调性建立不等式，解之可得直线l的斜率的范围.
【详解】
解：（1）设，，，代入得，
，
又，
所以线段PQ的中点B的轨迹方程为.
（2）设直线，与抛物线联立得，得，
所以，
又
，
又，又
所以直线l的斜率.
【点睛】
方法点睛：(1)解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为或不存在等特殊情形．有时若直线过x轴上的一点，可将直线设成横截式.
例4．（2022·江苏·南京市中华中学高二阶段练****已知点为双曲线上任一点，为双曲线的右焦点，过作直线的垂线，垂足为A，连接并延长交y轴于．
(1)求线段的中点的轨迹的方程；
(2)已知，过点的直线l与轨迹E交于不同的两点M、N，设直线DM和直线DN的斜率分别为和，求证：为定值．
【答案】(1)．
(2)证明见解析
【分析】（1）首先求出，设，利用中点公式得到方程组，最后代入回双曲线方程，最后化简得到轨迹方程；
（2）设直线方程为，与双曲线联立得到方程组，利用韦达定理整体代入即可得到定值.
（1）
由已知得，，
则直线的方程为：，
令得，即，又，且为线段中点，
设，则
即代入得：，
即P的轨迹E的方程为