人教第01讲 三角函数的图像与性质（讲）（解析版）.docx

第01讲 三角函数的图像与性质
本讲为高考命题热点，分值17-22分，题型多变，选择题，填空题，解答题都会出现，三角函数的图像与性质，三角恒等变换常考察选择题，填空题，解三角形常考察解答题，考察逻辑推理能力，运算求解能力.
考点一 正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
{x x≠kπ＋}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
最小正周期
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
[2kπ－π，2kπ]
递减区间
[2kπ，2kπ＋π]
无
对称中心
(kπ，0)
对称轴方程
x＝kπ＋
x＝kπ
无
1.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，偶函数一般可化为
y＝Acos ωx＋b的形式.
3.对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数.
考点二 函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
1.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.
3.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度.
高频考点一 三角函数的值域和定义域
【例1】1.函数y＝的定义域为________.
【答案】　(k∈Z)
【解析】法一　要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示.在[0，2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为.
法二　利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示).
所以定义域为.
【例2】函数y＝sin x－cos的值域为________.
【答案】[－，]
【解析】∵y＝sin x－cos ＝sin x－cos x＋sin x＝sin x－cos x＝sin，∴函数y＝sin x－cos的值域为[－，].
【方法技巧】
1.求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数线或三角函数的图象.
2.求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值).
(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值.
【变式训练】
1.当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的值域为________.
【答案】
【解析】因为x∈，所以sin x∈.
又y＝3－sin x－2cos2x＝3－sin x－2(1－sin2x)＝2＋，
所以当sin x＝时，ymin＝，当sin x＝－或sin x＝1时，ymax＝2.即函数的值域为.
2.函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________.
【答案】
【解析】设t＝sin x－cos x，
则t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，
sin xcos x＝，且－≤t≤.
∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.
当t＝1时，ymax＝1；当t＝－时，ymin＝－.
∴函数的值域为.
高频考点二 三角函数的周期性、奇偶性、对称性
【例3】 (1)(2021·郑州调研)在函数①y＝cos|x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的函数有(　　)
A.①③ B.①④ C.②④ D.②③
(2)已知函数f(x)＝sin(ω>0)的图象在内有