人教第01讲 数列的概念与简单表示法（讲）（解析版）.docx

第01讲 数列的概念与简单表示法
本讲为高考命题热点，分值12-17分，题型多变，选择题，填空题，解答题都会出现，
选择填空题常考等差等比数列的性质，大题题型多变，但对于文科来讲常考察基本量的计算与数列求和，对于理科考点相对难度较大，比如新定义，奇偶列等，考察逻辑推理能力与运算求解能力.
考点一 数列的定义与分类
1.数列的定义
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
2.数列的分类
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项
间的大
小关系
递增数列
an＋1＞an
其中n∈N*
递减数列
an＋1＜an
常数列
an＋1＝an
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
考点二 数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.
考点三 数列的通项公式与递推公式
1.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
2.数列的递推公式
如果已知数列的第一项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项
an－1(n≥2)(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
考点四 常用结论
1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝
2.数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关.
3.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.
高频考点一 由数列的递推关系求通项
角度1　累加法——形如an＋1－an＝f(n)，求an
【例1】在数列中，，，则（       ）．
A．659 B．661 C．663 D．665
【答案】D
【分析】由累加法和等差数列的前项和可求出，代入化简即可求出.
【详解】因为，所以，，…，
，所以，故．故选：D.
角度2　累乘法——形如＝f(n)，求an
【例2】已知数列中，，，则满足的n的最大值为（       ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】B
【分析】根据数列的递推关系式，运用累乘法计算出数列的通项公式，再根据不等式求解n的最大值.
【详解】根据题意，
化简得，
运用累乘法计算得，
且，，符合该式，
时，
时，；时，
所以满足条件的n的最大值为5.故选：B.
角度3　构造法——形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1，B≠0)，求an
【例3】已知数列满足，且，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由可得，即数列是以为首项，2为公比的等比数列，再根据的值求出可得答案.
【详解】由，可得，若，
则，与矛盾，
故，所以，
即数列是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，
又
，所以.故选：A.
【方法技巧】
1.由数列的递推关系求通项公式的常用方法
(1)已知a1，且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an.
(2)已知a1(a1≠0)，且＝f(n)，可用“累乘法”求an.
2.已知a1且an＋1＝pan＋q(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0).把原递推公式转化为an＋1－t＝p(an－t)，其中t＝，再利用换元法转化为等比数列求解.
【跟踪训练】
1．已知为数列的前n项和，若，则的通项公式为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由题设求出，再通过构造得，由等比数列的通项公式即可求解.
【详解】令可得，又，解得，又，
则，，即是以2为首项，2为公比的等比数列，则，.故选：B.
2．已知数列满足，对任意的都有，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用累加法可求得，代入即可求得.
【详解】由得：，
，，，…，，
各式作和得：，
，.故选：C.
3．已知，则（       ）
A．504 B．1008 C．2016 D．4032
【答案】D
【分析】根据数列的递推式，变形为，采用累乘法，求得答案.
【详解】由可得：，
故 ，故选：D.
4．某校为推广篮球运动，成立了篮球社团，社团中的甲、乙、丙三名成员进行传球训练，从甲开始随机地传球给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是