人教第01讲 数列的概念与简单表示法（练）（解析版）.docx

第01讲 数列的概念与简单表示法
一、单选题
1．已知数列满足，为正整数，则该数列的最大值是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出数列的前5项，再由对勾函数的性质可得，的单调性，从而即可得最大值.
【详解】解：由，得，，，，．
又，，又因为在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为．故选：B．
2．数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据0.3，0.33，0.333，0.3333，…与9，99，999，9999，…的关系，结合9，99，999，9999，…的通项公式求解即可.
【详解】数列9，99，999，9999，…的一个通项公式是，则数列0.9，0.99，0.999，0.9999，…的一个通项公式是，则数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是．故选：C．
3．设数列满足且，则（       ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【分析】由题意首先确定数列为周期数列，然后结合数列的周期即可求得最终结果.
【详解】由题意可得：，，
，，
据此可得数列是周期为4的周期数列，则.故选：D
4．记数列的前项和为，且，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由列方程组求值即可.
【详解】因为，解得.
又因为，解得.故选：A.
5．在数列中，，，，，则（       ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】根据，可得，则数列是以6为周期的周期数列，再求出，即可得解.
【详解】解：由，得，两式相除可得，
所以数列是以6为周期的周期数列，
又，
所以．
故选：A．
6．已知等比数列的前项和为，且，则“数列递增”是“数列递增”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】从“数列递增”和“数列递增”两方面作为条件分别证明结论是否成立即可.
【详解】因为，且数列递增，所以，因此，所以数列递增，所以“数列递增”是“数列递增”的充分条件；
若数列递增，则，所以，又，所以对成立，即，则，但是的符号不确定，所以数列不一定递增，所以“数列递增”是“数列递增”的不必要条件；
因此“数列递增”是“数列递增”的充分不必要条件.故选：A
二、填空题
7．已知在数列中，，，则__________．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用数列前n项和的意义，探讨数列相邻两项的关系，构造常数列求解作答.
【详解】因为，当时，，
则，即有，当时，，得，满足上式，
，，因此数列是常数列，即，所以.
故答案为：
8．给出下列命题：
①已知数列，，则是这个数列的第10项，且最大项为第1项；
②数列，…的一个通项公式是；
③已知数列，，且，则；
④已知，则数列为递增数列．
其中正确命题的个数为______．
【答案】4
【分析】令，以及数列的单调性，可判定①正确；结合归纳法，可判定②正确；
由，求得，求得，可判定③正确；由，可判定④正确．
【详解】对于①中，令，解得，且数列为递减数列，
所以最大项为第1项，所以①正确；
对于②中，数列，，，，…的一个通项公式为，
所以 原数列的一个通项公式为，所以②正确；
对于③中，由且，即，解得，所以，
所以，所以③正确；
对于④中，由，可得，即，所以数列为递增数列，所以④正确．故答案为：.
9．在数列中，（n∈N*），且，则数列的通项公式________.
【答案】
【分析】由，得，再利用累乘法即可得出答案.
【详解】解：由，得，
则，
，
，
，
累乘得，
所以.故答案为：.
三、解答题
10．记关于的不等式的整数解的个数为，数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若对任意，都有成立，试求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解不等式可确定，由及可求得；
（2）由（1）求得，单调性转化为恒成立，然后按的奇偶性分类讨论得参数范围．
（1）
由不等式可得：，
，
，
当时，，
当时，，
因为适合上式，
；
（2）
由（1）可得：，
，
，
，
当为奇数时，，
由于随着的增大而增大，当时，的最小值为，
，
当为偶数时，，
由于随着的增大而减小，当时，的最大值为，
，
综上可知：．
11．已知数列{an}的前n项和Sn，求通项an．
(1)Sn＝3n－1；
(2