人教第9章 平面解析几何 第8节　曲线与方程.docx

第8节　曲线与方程
考试要求　1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系；2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质；3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.
1.曲线与方程的定义
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：
那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.
2.求动点的轨迹方程的基本步骤
1.“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件.
2.曲线的交点与方程组的关系：
(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；
(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件.(　　)
(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线.(　　)
(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的.(　　)
(4)方程y＝与x＝y2表示同一曲线.(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
解析　对于(2)，由方程得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0，所以方程表示两条直线，错误；对于(3)，前者表示方程，后者表示曲线，错误；对于(4)，曲线y＝是曲线x＝y2的一部分，错误.
2.(2022·郑州调研)已知M(－1，0)，N(1，0)，|PM|－|PN|＝2，则动点P的轨迹是(　　)
A.双曲线 B.双曲线左支
C.一条射线 D.双曲线右支
答案　C
解析　由于|PM|－|PN|＝|MN|，所以A，B，D不正确，应为以N为端点，沿x轴正向的一条射线.
3.(2021·广州调研)方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表示的曲线是(　　)
A.两条直线
B.两条射线
C.两条线段
D.一条直线和一条射线
答案　D
解析　原方程可化为或－1＝0，即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线.
4.(易错题)已知M(－2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是________.
答案　x2＋y2＝4(x≠±2)
解析　由题意可知，P点的轨迹是以原点为圆心，以MN为直径并且去掉M，N两点的圆，∴方程为x2＋y2＝4(x≠±2).
5.(易错题)平面内与两定点A(2，2)，B(0，0)距离的比值为2的点的轨迹是_______________.
答案　以为圆心，为半径的圆
6.(2021·银川质检)曲线C：xy＝2上任一点到两坐标轴的距离之积为________.
答案　2
解析　在曲线xy＝2上任取一点(x0，y0)，则x0y0＝2，该点到两坐标轴的距离之积为|x0||y0|＝|x0y0|＝2.
考点一　直接法求轨迹方程
1.(2020·全国Ⅲ卷)在平面内，A，B是两个定点，C是动点.若·＝1，则点C的轨迹为(　　)
A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.直线
答案　A
解析　以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
设点A，B分别为(－a，0)，(a，0)(a>0)，点C为(x，y)，
则＝(x＋a，y)，＝(x－a，y)，
所以·＝(x－a)(x＋a)＋y·y
＝x2＋y2－a2＝1，
整理得x2＋y2＝a2＋1.
因此点C的轨迹为圆.故选A.
2.在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1，1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－.则动点P的轨迹方程为________________.
答案　x2＋3y2＝4(x≠±1)
解析　因为点B与点A(－1，1)关于原点O对称，所以点B的坐标为(1，－1).
设点P的坐标为(x，y)，
由题意得·＝－，
化简得x2＋3y2＝4(x≠±1) .
故动点P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1).
3.已知A(－2，0)，B(1，0)两点，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O为原点，则点P的轨迹方程是________.
答案　(x－2)2＋y2＝4(y≠0)
解析　由角的平分线性质定理得|PA|＝2|PB|，设P(x，y)，
则＝2，
整理得(x－2)2＋y2＝4(y≠0)
感悟提升　利用直接法求轨迹方程
(1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程，然后进行化简.
(2)运用直接法应注意的问题：①在用直接法