人教第21节 解三角形（解析版）.docx

第21节 解三角形
基础知识要夯实
重点一　正弦定理
＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
正弦定理的常见变形
(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(4)＝
重点二　余弦定理
a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝c2＋a2－2ca cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C.
余弦定
理的常
见变形
(1)cos A＝；
(2)cos B＝；
(3)cos C＝
重点三 重要结论
1．三角形中的三角函数关系
(1)sin (A＋B)＝sin C；(2)cos (A＋B)＝－cos C；(3)sin ＝cos ；(4)cos ＝sin .
2．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B；b＝a cos C＋c cos A；c＝b cos A＋a cosB．
基本技能要落实
考点一　平面向量的概念
【例1】（2021•天津）在中，内角，，的对边分别为，，，且，．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
【解析】（1）中，，，
，，．
（2）中，由余弦定理可得．
（3）由（2）可得，
，，
．
【例2】（2021•新高考Ⅱ）在中，角，，所对的边长为，，，，．
（Ⅰ）若，求的面积；
（Ⅱ）是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【解析】，根据正弦定理可得，
，，，，，
在中，运用余弦定理可得，
，，
．
，为钝角三角形时，角必为钝角，
，，
，，三角形的任意两边之和大于第三边，
，即，即，，为正整数，．
【方法技巧】
1.(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．
(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．
2．求三角形面积的方法
(1)若已知三角形的一个角(角的大小或该角的正、余弦值)及该角的两边长度，代入公式求面积；
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，或直接代入海伦公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
3．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
【跟踪训练】
1．（2021•乙卷）记的内角，，的对边分别为，，，面积为，，，则　　．
【答案】
【解析】的内角，，的对边分别为，，，面积为，，，
，
又，（负值舍）故答案为：．
2．（2021•北京）在中，，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）再在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求边上的中线的长．
条件①；
条件②的周长为；
条件③的面积为．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（Ⅰ），由正弦定理可得，即，，
当 时，，即，不符合题意，舍去，，，即．
（Ⅱ）选①，由正弦定理可得，与已知条件矛盾，故不存在，
选②周长为，，，，
由正弦定理可得，即，
，，
，即，，，
存在且唯一确定，
设的中点为，，
在中，运用余弦定理，，
即，，
边上的中线的长度．
选③面积为，，，
，解得，余弦定理可得
，．
考点二　判断三角形形状
【例3】（2022·河北衡水中学高三模拟）在△ABC中，已知＝且还满足①a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin C＋sin B)；②b cos A＋a cos B＝c sin C 中的一个条件，试判断△ABC的形状，并写出推理过程．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】由＝及正弦定理得＝，
即ac＋a2＝b2＋bc，∴a2－b2＋ac－bc＝0，∴(a－b)(a＋b＋c)＝0，∴a＝b.
若选①△ABC为等边三角形．
由a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin C＋sin B)及正弦定理，得a(a－b)＝(c－b)(c＋b)，即a2＋b2－c2＝ab.
∴cos C＝＝，又C∈(0，π)，所以C＝.∴△ABC为等边三角形．
若选②△ABC为等腰直角三角形，
∵b cos A