人教第23节 空间几何体的表面积与体积（解析版）.docx

第23节 空间几何体的表面积与体积
基础知识要夯实
　　名称
几何体
表面积
体积
柱　体
(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝S底h
锥　体
(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝S底h
台　体
(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝ (S上＋S下＋)h
球
S＝4πR2
V＝πR3
基本技能要落实
考点一 空间几何体的体积
【例1】(2020·天津卷)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M－EFGH的体积为________.
【答案】
【解析】连接AD1，CD1，B1A，B1C，AC，因为E，H分别为AD1，CD1的中点，所以EH∥AC，EH＝AC.因为F，G分别为B1A，B1C的中点，所以FG∥AC，FG＝AC.所以EH∥FG，EH＝FG，所以四边形EHGF为平行四边形，又EG＝HF，EH＝HG，所以四边形EHGF为正方形.又点M到平面EHGF的距离为，所以四棱锥M－EFGH的体积为××＝.
【例2】如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，
容易求得EG＝HF＝，
AG＝GD＝BH＝HC＝，
取AD的中点O，连接GO，易得GO＝，
∴S△AGD＝S△BHC＝××1＝，
∴多面体的体积V＝V三棱锥E－ADG＋V三棱锥F－BCH＋V三棱柱AGD－BHC＝2V三棱锥E－ADG＋
V三棱柱AGD－BHC＝×××2＋×1＝.故选A.
【方法技巧】
1.(直接法)规则几何体：对于规则几何体，直接利用公式计算即可.若已知三视图求体积，应注意三视图中的垂直关系在几何体中的位置，确定几何体中的线面垂直等关系，进而利用公式求解.
2.(割补法)不规则几何体：当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后再计算.经常考虑将三棱锥还原为三棱柱或长方体，将三棱柱还原为平行六面体，将台体还原为锥体.
3.(等积法)三棱锥：利用三棱锥的“等积性”可以把任一个面作为三棱锥的底面.(1)求体积时，可选择“容易计算”的方式来计算；(2)利用“等积性”可求“点到面的距离”，关键是在面中选取三个点，与已知点构成三棱锥.
【跟踪训练】
1.如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为(　　)
A.3 B. C.1 D.
【答案】C
【解析】如题图，在正△ABC中，D为BC中点，则有AD＝AB＝，
又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，平面BB1C1∩平面ABC＝BC，AD⊥BC，AD⊂平面ABC，由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面BB1C1C，即AD为三棱锥A－B1DC1的底面B1DC1上的高，
∴VA－B1DC1＝S△B1DC1·AD＝××2××＝1.
2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)
A.8π－ B.4π－
C.8π－4 D.4π＋
【答案】A
【解析】该几何体为一个半圆柱中间挖去一个四面体，
∴体积V＝π×22×4－××2×4×4＝8π－.
考点二 多面体与球的切、接问题
【例2】在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是(　　)
A.4π B. C.6π D.
【答案】B
【解析】由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.
要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC的内切圆的半径为r.
则×6×8＝×(6＋8＋10)·r，所以r＝2.
2r＝4＞3，不合题意.
球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大.
由2R＝3，即R＝.
故球的最大体积V＝πR3＝
【方法技巧】
1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.
2.若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.
【跟踪训练】
1.三棱锥