人教考向08函数与方程（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）.docx

考向08 函数与方程
1．（2022年北京卷第14题）设函数，若存在最小值，则的一个取值为 ，的最大值为________．
【答案】（答案不唯一），1
【解析】由题意知，函数最值于函数单调性相关，故可考虑以为分界点研究函数的性质，当时，，该段的值域为，故整个函数没有最小值；当时，该段值域为，而的值域为，故此时的值域为，即存在最小值为，故第一个空可填写；当时，，该段的值域为，而的值域为，若存在最小值，则需满足，于是可得；当时，，该段的值域为，而的值域为，若存在最小值，则需满足，此不等式无解。综上，的取值范围是，故的最大值为1.
2．（2022年浙江卷第14题）已知，则 ；若当时，，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】由题可知：，所以．
当时，令，解得；
当时，令，解得．
所以的解集为．
所以的最大值为．
3．（2022年天津卷第15题）定义函数代表与中较小的数，若至少有个零点，求的取值范围____________
【答案】
【解析】
设在上的零点才会成为的零点，
只有在时才会成为的零点，至少有个零点有以下三种情况：
①且在上有两个零点，
转化为与的交点
②
且在上有两个零点
③且在上至少有一个零点，
综上所述：的取值范围是
1.判断函数零点个数的3种方法
(1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．
(3)图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．　
2.根据函数零点的情况求参数的3种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．
3.利用函数零点位置的对称性求和
（1）将函数零点问题转化为两个函数图像的交点问题；
（2）①如果两个函数图像都关于直线x=a对称，那么这两2个函数图像的交点也关于直线x=a对称，则对应的两零点之和为2a。
②如果两个函数图像都关于点（a，0）对称，那么这两个函数图像的交点也关于点（a，0）对称，则对应的两零点之和为2a。
有关函数零点的三个结论
1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
2.连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
3.连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
【易错点1】函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
【易错点2】函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象等综合考虑．
1．函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致范围是(　　)
A．(1，2)　　　　 B．(2，3) C．和(3，4) D．(4，＋∞)
【答案】B
【解析】选B.易知f(x)为增函数，由f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，得f(2)·f(3)＜0.
2.函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为(　　)
A．(0，1)　　 B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)
【答案】　B
【解析】　方法一(定理法)：函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，图象是一条连续曲线．由题意知f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，f(3)＝2>0，根据零点存在性定理可知，函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内．
方法二(图象法)：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝log3x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两个函数的图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)．故选B.
3．已知实数a>1，0<b<1，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是(　　)
A．(－2，－1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，2)
【答案】B
【解析】因为a>1，