人教考向45坐标系与参数方程（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（老高考）（解析版）.docx

考向45 坐标系与参数方程（老高考）
【2022年全国甲卷】在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（是参数），曲线的参数方程为，（是参数）．
（1）写出的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，轴正半轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求与交点的直角坐标，及与交点的直角坐标．
【答案】（1）；
（2）与交点为和；与交点为和．
【解析】（1）由：消去参数得．
(2) 由：，两边乘以得，，得的直角坐标方程为．
联立，解得或
由：消去参数得．
联立，解得或
综上所述，与交点为和；与交点为和．
【2022年全国乙卷】在直角坐标系中，曲线的方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.
写出的直角坐标方程；
若与有公共点，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由可得，，
即，，
故的方程为：.
（2）由，得，
联立，，
即 ，，即，
故的范围是.
一、极坐标的转化问题
互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位长度．
互化公式为，
直角坐标方程化极坐标方程可直接将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为ρcos θ，ρsin θ的整体形式，然后用x，y代替较为方便，常常两端同乘以ρ即可达到目的，但要注意变形的等价性．
二、参数方程的消参问题
1.消参的常用方法
(1)代入消参法，是指由曲线的参数方程中的某一个(或两个)得到用x(或y，或x，y)表示参数的式子，把其代入参数方程中达到消参的目的．
(2)整体消参法，是指通过恰当的变形把两式平方相加(或相减、相乘、相除)达到消参的目的，此时常用到一些桓等式，如sin2θ＋cos2θ＝1，sec2θ＝tan2θ＋1，2－2＝4等．
1．圆的极坐标方程
若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程
(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；
(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝2acosθ；
(3)当圆心位于，半径为a：ρ＝2asinθ.
2．直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)．
几个特殊位置的直线的极坐标方程
(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；
(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；
(3)直线过且平行于极轴：ρsin θ＝b.
3．直线、圆、椭圆的参数方程：
（1）经过一定点，倾斜角为 的直线的参数方程为：(为参数)；
（2）直线参数方程的一般形式为（为参数）；
（3）圆的参数方程为( 为参数)；
（5）椭圆的参数方程为(θ，为参数)．
1.混淆圆和直线的参数方程；
2.忽视直线参数方程是否具有几何意义；
3.因忽视极坐标系下点的极坐标不唯一性致误；
4.用极坐标求交点时，忽视极径为零的情况；
5.混淆参数方程中的角与极坐标中的角的不同几何意义；
6.参数方程与极坐标方程互化时，忽视参数的范围.
1.已知直线参数方程为，圆的参数方程为，则圆心到直线的距离为_______
【答案】
【解析】将参数方程转化为一般方程：
所以圆心为，到直线的距离为：
2.以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，点的极坐标为，曲线的参数方程为，则曲线上的点到点距离的最大值为___________
【答案】
【解析】，故曲线上距离最远的距离为到圆心的距离加上半径，故
3.已知在平面直角坐标系中圆的参数方程为：，以为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为，则圆截直线所得弦长为__________
【答案】
【解析】圆的方程为：，对于直线方程，无法直接替换为，需构造再进行转换：
再求出弦长即可：
4.已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为_____________
【答案】
【解析】曲线方程为，联立方程可解得：或（舍）
由可得： 所以，坐标为
5.在极坐标系中，直线与曲线相交于两点，且，则实数的值为_____________
【答案】或
【解析】先将直线与曲线转化为直角坐标方程：，曲线，所以问题转化为直线与圆相交于，且，利用圆与直线关系可求得圆心到直线距离即，解得或
6.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单