人教版高中数学2 第2讲　一元二次不等式及其解法.doc

第2讲　一元二次不等式及其解法
最新考纲
考向预测
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程.
2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
3.会解一元二次不等式.
命题
趋势
不等式解法是不等式中的重要内容，“三个二次”之间的联系的综合应用等问题是高考的热点.
核心
素养
数学运算、逻辑推理
1．一元一次不等式ax>b(a≠0)的解集
(1)当a>0时，解集为．
(2)当a<0时，解集为．
2．三个“二次”间的关系
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx
＋c(a>0)的
图象
一元二次方
程ax2＋bx
＋c＝0(a>0)
的根
有两个相异实
根x1，x2(x1
<x2)
有两个相等实
根x1＝x2
＝－
没有实
数根
一元二次不等
式ax2＋bx＋c
>0(a>0)
的解集
{x|x>x2
或x<x1}
R
ax2＋bx＋c
<0(a>0)
的解集
{x|x1<x<x2}
∅
∅
常用结论
1．分式不等式的解法
(1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)．
(2)≥0(≤0)⇔
2．两个恒成立的充要条件
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔
(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔
常见误区
1．解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形．
2．解不等式时忽视变形必须等价．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　　)
(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　)
(3)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　)
(4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．设集合A＝{x|x2＋x－6≤0}，集合B为函数y＝的定义域，则A∩B等于(　　)
A．(1，2)　　　　　　 B．[1，2]
C．[1，2) D．(1，2]
解析：选D.A＝{x|x2＋x－6≤0}＝{x|－3≤x≤2}，由x－1>0得x>1，即B＝{x|x>1}，所以A∩B＝{x|1<x≤2}．
3．不等式≤0的解集为(　　)
A．{x|x<1或x≥3} B．{x|1≤x≤3}
C．{x|1<x≤3} D．{x|1<x<3}
解析：选C.由≤0，得解得1<x≤3.故选C项．
4．不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．
解析：由－x2－3x＋4>0可知，(x＋4)(x－1)<0，
得－4<x<1.
答案：(－4，1)
5．(易错题)对于任意实数x，一元二次不等式mx2＋mx－1<0恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：由题可得解得－4<m<0.所以m的取值范围是(－4，0)．　
答案：(－4，0)
　　　　　　一元二次不等式的解法
解下列关于x的不等式．
(1)0<x2－x－2≤4；
(2)ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．
【解】　(1)原不等式等价于
即
即
解得
借助于数轴，如图所示，
原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2<x≤3}．
(2)因为a>0，原不等式等价于(x－1)<0.
①当a＝1时，＝1，(x－1)<0无解；
②当a>1时，<1，解(x－1)<0得<x<1；
③当0<a<1时，>1，解(x－1)<0得1<x<.
综上所述，当0<a<1时，解集为；
当a＝1时，解集为∅；
当a>1时，解集为.
(1)解一元二次不等式的方法和步骤
(2)解含参数的一元二次不等式的步骤
①二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式；
②判断一元二次不等式所对应的方程实根的个数，即讨论判别式Δ与0的关系；
③确定方程无实根或有两个相同实根时，可直接写出解集；确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集．　
1．不等式2x(x－7)>3(x－7)的解集为________．
解析：2x(x－7)>3(x－7)⇔2x(x－7)－3(x－7)>0⇔(x－7)(2x－3)>0，解得x<或x>7，