人教版高中数学4 第4讲　函数性质的综合问题.doc

第4讲　函数性质的综合问题
　　　　　　函数的单调性与奇偶性
(1)设f(x)是定义在[－2b，3＋b]上的偶函数，且在[－2b，0]上为增函数，则f(x－1)≥f(3)的解集为(　　)
A．[－3，3]　　　　　 　　　 B．[－2，4]
C．[－1，5] D．[0，6]
(2)(多选)定义在R上的奇函数f(x)为减函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，则下列不等式中成立的是(　　)
A．f(b)－f(－a)<g(a)－g(－b)
B．f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)
C．f(a)＋f(－b)<g(b)－g(－a)
D．f(a)＋f(－b)>g(b)－g(－a)
【解析】　(1)因为f(x)是定义在[－2b，3＋b]上的偶函数，
所以－2b＋3＋b＝0，解得b＝3，
由函数f(x)在[－6，0]上为增函数，得f(x)在[0，6]上为减函数．故f(x－1)≥f(3)⇒f(|x－1|)≥f(3)⇒|x－1|≤3，故－2≤x≤4.
(2)函数f(x)为R上的奇函数，且为单调减函数，
偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，
由a>b>0，得f(a)<f(b)<0，f(a)＝g(a)，f(b)＝g(b)；　
对于A，f(b)－f(－a)<g(a)－g(－b)⇔f(b)＋f(a)－g(a)＋g(b)＝2f(b)<0(因为f(a)＝g(a)在a>0上成立)，所以A正确；
对于B，f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)⇔f(b)＋f(a)－g(a)＋g(b)＝2f(b)>0，这与f(b)<0矛盾，所以B错误；
对于C，f(a)＋f(－b)<g(b)－g(－a)⇔f(a)－f(b)－g(b)＋g(a)＝2[f(a)－f(b)]<0，
这与f(a)<f(b)符合，所以C正确；
对于D，f(a)＋f(－b)>g(b)－g(－a)⇔f(a)－f(b)－g(b)＋g(a)＝2[f(a)－f(b)]>0，这与f(a)<f(b)矛盾，所以D错误．
【答案】　(1)B　(2)AC
函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路
(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于y轴对称的两个区间上具有相反的单调性．
(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响．　
1．已知函数f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](a<b<0)上的值域为[－3，4]，则在区间[－b，－a]上　(　　)
A．有最大值4 B．有最小值－4
C．有最大值－3 D．有最小值－3
解析：选B.根据题意作出y＝f(x)的简图，由图知，选B.
2．已知偶函数f(x)的定义域为(－3，3)，且f(x)在[0，3)上是减函数，f(m－1)－f(3m－1)>0，则实数m的取值范围是(　　)
A． B．(－∞，0)∪
C．∪ D．
解析：选C.因为f(x)为偶函数，且在[0，3)上是减函数，
所以f(x)在(－3，0)上是增函数．
f(m－1)－f(3m－1)>0可化为f(m－1)>f(3m－1)，
因为f(x)为偶函数，所以f(m－1)>f(3m－1)即为f(|m－1|)>f(|3m－1|)．
又f(x)在[0，3)上为减函数，
所以
解得m∈∪，故选C.
　　　　　　函数的周期性与奇偶性
(1)(2021·河南模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)，对任意实数x，恒有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈时，f(x)＝x2－6x＋8，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 020)＝(　　)
A．6 B．3
C．0 D．－3
(2)已知函数y＝f(x)满足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数，且f(1)＝，设F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(3)＝　(　　)
A． B．
C．π D．
【解析】　(1)根据题意，对任意实数x，恒有f(x＋3)＝－f(x)．则有f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即函数f(x)是周期为6的周期函数，又由f(x)为定义在R上的奇函数，得f(0)＝0，则f(3)＝－f(0)＝0.又由当x∈时，f(x)＝x2－6x＋8，得f(1)＝3，f(2)＝f(－1＋3)＝－f(－1)＝f(1)＝3.
f(4)＝f(1＋3)＝－f(1)＝－3，f(5)＝f(2＋3)＝－f(2)＝－3.
则有f