人教版高中数学第2讲　两直线的位置关系.doc

第2讲　两直线的位置关系
一、知识梳理
1．两直线的平行、垂直与其斜率的关系
条件
两直线位置关系
斜率的关系
两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2
平行
k1＝k2
k1与k2都不存在
垂直
k1k2＝－1
k1与k2一个为零、另一个不存在
2.两条直线的交点
3．三种距离
点点距
点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离
|P1P2|＝
点线距
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝
线线距
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离
d＝
常用结论
1．会用两个充要条件
(1)两直线平行或重合的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0.
(2)两直线垂直的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.
2．直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
3．六种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
(6)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．
二、教材衍化
1．两直线4x＋3y＝10与2x－y＝10的交点坐标为________．
答案：(4，－2)
2．已知点(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于________
答案：－1
3．已知直线l1：ax＋3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0互相平行，则实数a的值是________．　
解析：由直线l1与l2平行，可得解得a＝－3.
答案：－3
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　　)
(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　)
(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．(　　)
(4)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.(　　)
(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√
二、易错纠偏
(1)求平行线间距离忽视x，y的系数相同；
(2)判断两条直线的位置关系忽视斜率不存在的情况．
1．两条平行直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋11＝0之间的距离为(　　)
A．　　　　　　　　　　 B．
C．7 D．
解析：选D．直线3x＋4y－12＝0可化为6x＋8y－24＝0，所以两平行直线之间的距离为＝.
2．已知直线l1：ax＋y－4＝0和l2：2x＋ay＋1＝0若l1⊥l2，则a＝________．
解析：因为l1⊥l2，则2a＋a＝0，所以a＝0.
答案：0
考点一　两直线的位置关系(基础型)
能根据斜率判定两条直线平行或垂直．
核心素养　数学运算，逻辑推理
(一题多解)已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1)当l1∥l2时，求a的值；
(2)当l1⊥l2时，求a的值．
【解】　(1)法一：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，
l2：x＝0，l1不平行于l2；
当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；
当a≠1且a≠0时，
两直线方程可化为l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，由l1∥l2可得解得a＝－1.
综上可知，a