人教版高中数学第2讲　平面向量基本定理及坐标表示.doc

第2讲　平面向量基本定理及坐标表示
一、知识梳理
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
(2)基底：不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝．
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝．
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．
[提醒]　当且仅当x2y2≠0时，a∥b与＝等价．
即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．
常用结论
1．共线向量定理应关注的两点
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.
(2)判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后按两向量共线进行判定．
2．两个结论
(1)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为.
(2)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为
.
二、教材衍化
1．已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝(　　)
A．－ B．
C．－2 D．2
解析：选A．由向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由ma＋nb与a－2b共线，得－(2m－n)＝4(3m＋2n)，所以＝－.故选A．
2．已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________．
解析：设D(x，y)，则由＝，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即解得
答案：(1，5)
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　　)
(2)在△ABC中，向量，的夹角为∠ABC．(　　)
(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．(　　)
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.(　　)
(5)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2 ，μ1＝μ2.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
二、易错纠偏
常见误区(1)利用平面向量基本定理的前提是基底不能共线；
(2)由点的坐标求向量坐标忽视起点与终点致误．
1．设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，则给出下列向量组：①与；②与；③与；④与.
其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是(　　)
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
解析：选B．平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图：
对于①，与不共线，可作为基底；
对于②，与为共线向量，不可作为基底；
对于③，与是两个不共线的向量，可作为基底；
对于④，与在同一条直线上，是共线向量，不可作为基底．
2．已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)
A．(－7，－4) B．(7，4)
C．(－1，4) D．(1，4)
解析：选A．法一：设C(x，y)，
则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，
所以
从而＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A．
法二：＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，
＝－＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．
故选A．
考点一　平面向量基本定理的应用(基础型)
了解平面向量的基本定理及其意义．
核心素养：数学运算
(1)在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且＝2，＝3，若＝a，＝b，则＝(　　)
A．a＋b　　　　　　　　 B．a－b
C．－a－b D．－a＋b
(2)(2020·郑州市第一次质量预测)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC
的中点，连接CE，DF，交于点G.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝________．
【解析】