人教版高中数学第2节 导数与函数的单调性.doc

第2节　导数与函数的单调性
考试要求　1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
1.函数的单调性与导数的关系
条件
恒有
结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导
f′(x)＞0
f(x)在(a，b)上单调递增
f′(x)＜0
f(x)在(a，b)上单调递减
f′(x)＝0
f(x)在(a，b)上是常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导函数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
1.若函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，所以“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.
2.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)＞0.(　　)
(2)如果f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.(　　)
(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)＞0，则f(x)在定义域上一定单调递增.(　　)
(4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
解析　(1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f′(x)≥0.(3)反例，f(x)＝－，虽然f′(x)＝＞0，但f(x)＝－，在其定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上不具有单调性.
2.(多选)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是(　　)
A.f(b)＞f(c)＞f(d)
B.f(b)＞f(a)＞f(e)
C.f(c)＞f(b)＞f(a)
D.f(c)＞f(d)＞f(e)
答案　CD
解析　由题意得，
当x∈(－∞，c)时，f′(x)＞0，
所以函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，
因为a＜b＜c，所以f(c)＞f(b)＞f(a).
当x∈(c，e)时，f′(x)＜0，
所以函数f(x)在(c，e)上是减函数，
因为c＜d＜e，所以f(c)＞f(d)＞f(e).
3.(2021·九江二模)函数f(x)＝ln x－x2的单调递增区间为________.
答案　
解析　由题意可得函数的定义域为(0，＋∞)，
∵f(x)＝ln x－x2，
∴f′(x)＝－2x＝.
由f′(x)＞0可得1－2x2＞0，
解得0＜x＜，
故函数的单调增区间为.
4.若函数f(x)＝ax3＋3x2－x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是________.
答案　(－3，0)∪(0，＋∞)
解析　f′(x)＝3ax2＋6x－1，由题意得解得a＞－3且a≠0.
5.(易错题)若函数f(x)＝x3－x2＋ax＋4的单调递减区间为[－1，4]，则实数a的值为________.
答案　－4
解析　f′(x)＝x2－3x＋a，且f(x)的单调递减区间为[－1，4]，∴f′(x)＝x2－3x＋a≤0的解集为[－1，4], ∴－1，4是方程f′(x)＝0的两根，则a＝(－1)×4＝－4.
6.(易错题)若y＝x＋(a＞0)在[2，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________.
答案　(0，2]
解析　法一　由y′＝1－≥0，
得x≤－a或x≥a.
∴y＝x＋的单调递增区间为(－∞，－a]，[a，＋∞).
∵函数在[2，＋∞)上单调递增，
∴[2，＋∞)⊆[a，＋∞)，
∴a≤2.又a＞0，∴0＜a≤2.
法二　y′＝1－，依题意知1－≥0
在x∈[2，＋∞)上恒成立，
即a2≤x2恒成立，
∵x∈[2，＋∞)，∴x2≥4，∴a2≤4，
又a＞0，∴0＜a≤2.
　考点一　不含参函数的单调性
1.下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(　　)
A.f(x)＝sin 2x B.f(x)＝xex
C.f(x)＝x3－x D.f(x)＝－x＋ln x
答案　B
解析　由于x＞0，对于A，f′(x)＝2cos 2x，f′＝－1＜0，不符合题意；
对于B，f′(x)＝(x＋1)ex＞0，符合题意；
对于C，f′(x)＝3x2－1，f′＝－＜0，不符合题意；
对于D，f′(x)＝－1＋，f′(2)＝－＜0，不符合题意.
2.