人教版高中数学第2节 函数的单调性与最大(小)值.doc

第2节　函数的单调性与最大(小)值
考试要求　1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解其实际意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D
当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数
当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
2.函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)∀x∈I，都有f(x)≤M；
(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M
(1)∀x∈I，都有f(x)≥M；
(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
1.有关单调性的常用结论
在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数.
2.函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)对于函数y＝f(x)，若f(1)<f(3)，则f(x)为增函数.(　　)
(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).(　　)
(3)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).(　　)
(4)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，则函数f(x)在区间D上是增函数.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
解析　(1)错误，应对任意的x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)成立才可以.
(2)错误，反例：f(x)＝x在[1，＋∞)上为增函数，但f(x)＝x的单调区间是(－∞，＋∞).
(3)错误，此单调区间不能用“∪”连接，故单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞).
2.(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为(　　)
A.f(x)＝－x B.f(x)＝
C.f(x)＝x2 D.f(x)＝
答案　D
3.函数y＝在区间[2，3]上的最大值是(　　)
A. B.2 C.3 D.3.5
答案　B
解析　∵函数y＝＝1＋在[2，3]上递减，
∴当x＝2时，y＝取得最大值＝2.
4.(2022·聊城检测)函数f(x)＝9x2＋的最小值为________.
答案　9
解析　∵f(x)的定义域为[1，＋∞)，
且y＝9x2与y＝在[1，＋∞)内均为增函数，
∴f(x)在[1，＋∞)上单调递增，故f(x)min＝f(1)＝9.
5.(易错题)函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，且f(a＋1)＜f(2a)，则实数a的取值范围是________.
答案　[－1，1)
解析　由条件知
解得－1≤a＜1.
6.(易错题)函数f(x)＝的单调增区间为________.
答案　(－∞，－1)
解析　由x2－2x－3＞0得x＜－1或x＞3，故f(x)的定义域(－∞，－1)∪(3，＋∞)，
由函数y＝x2－2x－3在(－∞，－1)上单调递减，
故f(x)的单调增区间是(－∞，－1).
　考点一　确定函数的单调性(区间)
1.(2022·百校大联考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为减函数的是(　　)
A.y＝－sin x B.y＝x2－2x＋3
C.y＝ln(x＋1) D.y＝2 022－
答案　D
解析　y＝－sin x和y＝x2－2x＋3在(0，＋∞)上不具备单调性；y＝ln(x＋1)在(0，＋∞)上单增.故选D.
2.函数y＝log(－x2＋x＋6)的单调递增区间为(　　)
A. B.
C.(－2，3) D.
答案　A
解析　由－x2＋x＋6>0，得－2<x<3，故函数的定义域为(－2，3)，令t＝－x2＋x＋6，则y＝logt，易知其为减函数.
由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数t＝－x2＋x＋6在(－2，