人教版高中数学第3讲　圆的方程.doc

第3讲　圆的方程
一、知识梳理
1．圆的方程
标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心(a，b)
半径为r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
条件：D2＋E2－4F＞0
圆心：
半径：r＝
2.点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系．
(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.
(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.
常用结论
1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
2．二元二次方程表示圆的条件
对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F＞0这一条件．
二、教材衍化
1．圆x2＋y2－2x＋4y－6＝0的圆心坐标________，半径________．
答案：(1，－2)　
2．若圆的圆心为(－8，3)，且经过点(－5，0)，则圆的标准方程为________．
答案：(x＋8)2＋(y－3)2＝18
3．在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________．
答案：x2＋y2－2x＝0
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　　)
(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆．(　　)
(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．(　　)
(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
二、易错纠偏
(1)忽视方程表示圆的条件D2＋E2－4F＞0；
(2)错用点与圆的位置关系判定．
1．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是(　　)
A．＜m＜1　　　　　　 B．m＜或m＞1
C．m＜ D．m＞1
解析：选B．由(4m)2＋4－4×5m＞0，得m＜或m＞1.
2．点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是________．
解析：因为点(1，1)在圆的内部，
所以(1－a)2＋(1＋a)2＜4，
所以－1＜a＜1.
答案：(－1，1)
考点一　求圆的方程(基础型)
回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程．
核心素养：数学运算
(1)圆心在x轴上，半径长为2，且过点A(2，1)的圆的方程是(　　)
A．(x－2－)2＋y2＝4　　 B．(x－2＋)2＋y2＝4
C．(x－2±)2＋y2＝4 D．(x－2)2＋(y－1)2＝4
(2)(一题多解)圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程为________．
【解析】　(1)根据题意可设圆的方程为(x－a)2＋y2＝4，因为圆过点A(2，1)，所以(2－a)2＋12＝4，解得a＝2±，所以所求圆的方程为(x－2±)2＋y2＝4.
(2)法一：设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)．
又该圆经过A，B两点，所以|CA|＝|CB|，
即
＝，解得a＝－2，
所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法二：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意得解得a＝－1，b＝－2，r2＝10，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法三：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则圆心坐标为，
由题意得解得D＝2，E＝4，F＝－5.故所求圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
【答案】　(1)C　(2)x2＋y2＋2x＋4y－5＝0
求圆的方程的两种方法
(1)直接法
根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
[提醒]　解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．　
1．(2020·内