人教版高中数学第3节 奇偶性、对称性与周期性.doc

第3节　奇偶性、对称性与周期性
考试要求　1.理解函数奇偶性的含义.2.了解函数的最小正周期的含义.3.会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题.
1.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
1.函数周期性的常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).
2.对称性的四个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.
(3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称；特别地，当a＝b时，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(4)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.特别地，当b＝0时，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)上是偶函数.(　　)
(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.(　　)
(3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.(　　)
(4)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数f(x)的图象关于点对称.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
解析　(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)错误.
(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，且在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错误.
2.(多选)下列函数中为偶函数的是(　　)
A.y＝x2sin x B.y＝x2cos x
C.y＝ln |x| D.y＝2－x
答案　BC
解析　根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)，且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项为偶函数；D选项既不是奇函数，也不是偶函数.
3.(2021·全国甲卷)设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x).若f＝，则f＝(　　)
A.－ B.－ C. D.
答案　C
解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x).又f(1＋x)＝f(－x)，所以f(2＋x)＝f[1＋(1＋x)]＝f[－(1＋x)]＝－f(1＋x)＝－f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是以2为周期 的周期函数，f＝f＝f＝.
4.设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集是________.
答案　(－2，0)∪(2，5]
解析　由图象知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；
当2＜x≤5时，f(x)＜0，又f(x)是奇函数，
∴当－2＜x＜0时，f(x)＜0，
当－5≤x＜－2时，f(x)＞0.
综上，f(x)＜0的解集为(－2，0)∪(2，5].
5.已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－3)＝________.
答案　－7
解析　因为f(x)为R上的奇函数，
所以f(0)＝0，
即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，
故f(x)＝2x－1(x≥0)，
则f(－3)＝－f(3)＝－(23－1)＝－7.
6.设f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，且当x∈时，f(x)＝－x3，则f＝________.
答案　
解析　由f(x＋3)＝f(