人教版高中数学第3节 圆的方程.doc

第3节　圆的方程
考试要求　1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
1.圆的定义和圆的方程
定义
圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合
方
程
标准
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心C(a，b)
半径为r
一般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(D2＋E2－4F＞0)
充要条件：D2＋E2－4F＞0
圆心坐标：
半径r＝
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；
(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；
(3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.
1.圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2.
2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(　　)
(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆.(　　)
(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆.(　　)
(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2
＋E2－4AF>0.(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
解析　(2)当a＝0时，x2＋y2＝a2表示点(0，0)；当a＜0时，表示半径为|a|的圆.
(3)当(4m)2＋(－2)2－4×5m＞0，即m＜或m＞1时表示圆.
2.(易错题)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是(　　)
A.a＜－2 B.－＜a＜0
C.－2＜a＜0 D.－2＜a＜
答案　D
解析　由方程表示圆的条件得a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)＞0，即3a2＋4a－4＜0，∴－2＜a＜.
3.过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是(　　)
A.(x－3)2＋(y＋1)2＝4
B.(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C.(x－1)2＋(y－1)2＝4
D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
答案　C
解析　设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.因为圆心C在直线x＋y－2＝0上，所以b＝2－a.又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，所以a＝1，b＝1.所以r＝2.所以方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
4.(多选)已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法正确的有(　　)
A.圆M的圆心坐标为(4，－3)
B.圆M被x轴截得的弦长为8
C.圆M的半径为25
D.圆M被y轴截得的弦长为6
答案　ABD
解析　圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则(x－4)2＋(y＋3)2＝25，圆的圆心坐标为(4，－3)，半径
为5，显然C不正确，ABD均正确.
5.(2020·北京卷)已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
答案　A
解析　由平面几何知识知，当且仅当原点、圆心、点(3，4)共线时，圆心到原点的距离最小且最小值为dmin＝－1＝4.
6.(2020·全国Ⅱ卷)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由题意可知圆心在第一象限，设圆心坐标为(a，b)(a>0，b>0).
∵圆与两坐标轴均相切，∴a＝b，且半径r＝a，
∴圆的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2.
∵点(2，1)在圆上，∴(2－a)2＋(1－a)2＝a2，
∴a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5.
当a＝1时，圆心坐标为(1，1)，此时圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝＝；
当a＝5时，圆心坐标为(5，5)，此时圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝＝.
综上，圆心到直线2x－y－3＝0的距离为.
考点一　圆的方程
例1 (1)(多选)(2021·济南质检)已知圆C被x轴分成两部分的弧长之比为1∶2，且被y轴截得的弦长为4，当圆心C到直线x＋y＝0的距离最小时，圆C的方程为(　　)
A.(x＋4)2＋(y－)2＝