人教版高中数学第5讲　指数与指数函数.doc

第5讲　指数与指数函数
一、知识梳理
1．根式
(1)根式的概念
①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
②a的n次方根的表示：
xn＝a⇒
(2)根式的性质
①()n＝a(n∈N*，且n>1)．
②＝
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
②负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．
(2)有理数指数幂的运算性质
①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②＝ar－s(a>0，r，s∈Q)；
③(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
④(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．指数函数的图象与性质
y＝ax (a>0且a≠1)
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)
当x>0时，y>1；
当x<0时，0<y<1
当x>0时，0<y<1；
当x<0时，y>1
在R上是增函数
在R上是减函数
常用结论
1．指数函数图象的画法
画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
2.指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大．
3．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与0<a<1来研究．
二、教材衍化
1．化简(1)aaa－＝________．
(2)2x－＝________．
答案：(1)a　(2)1－4x－1
2．函数y＝2x与y＝2－x的图象关于________对称．
解析：作出y＝2x与y＝2－x＝的图象(图略)，观察可知其关于y轴对称．
答案：y轴
3．已知函数f(x)＝ax－2＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，则A的坐标为________．
解析：令x－2＝0，则x＝2，f(2)＝3，即A的坐标为(2，3)．
答案：(2，3)
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)＝()n＝a.(　　)
(2)(－1)＝(－1)＝.(　　)
(3)函数y＝a－x是R上的增函数．(　　)
(4)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．(　　)
(5)函数y＝2x－1是指数函数．(　　)
(6)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)×
二、易错纠偏
常见误区(1)忽略n的范围导致式子(a∈R)化简出错；
(2)不理解指数函数的概念出错；
(3)忽视底数a的范围出错．
1．化简(x<0，y<0)得(　　)
A．2x2y　
B．2xy
C．4x2y
D．－2x2y
解析：选D．因为x<0，y<0，
所以＝(16x8·y4)＝(16)·(x8)·(y4)＝2x2|y|＝－2x2y.
2．若函数f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，则a＝________．
解析：由题意知即a＝2.
答案：2
3．若函数f(x)＝ax在[－1，1]上的最大值为2，则a＝________．
解析：当a>1时，a＝2；当0<a<1时a－1＝2，
即a＝.
答案：2或
考点一　指数幂的化简与求值(基础型)
理解有理数指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
核心素养：数学运算
1．计算：－＋＋(0.002) ＝________．
解析：原式＝－＋＋
＝－＋＋10＝10.
答案：10
2．化简4a·b÷的结果为________．
解析：原式＝4÷a
＝－6ab－1＝－.
答案：－
3．计算：＋0.1－2＋－3π0＋＝________．
解析：原式＝＋＋－3＋
＝＋100＋－3＋＝100.
答案：100
4．已知x＋x＝3，则x2＋x－2＋3＝________．
解析：由x＋x＝3，得x＋x－1＋2＝9，所以x＋x－1＝7，所以x2＋x－2＋2＝49，所以x2＋x－2＝47，所以x2＋x－2＋3＝50.
答案：50
[提醒]　运算结果不能同时含有根号和分数