2022届高考数学一轮复习（人教版）第2章 §2.2 第2课时　奇偶性、对称性与周期性.docx

第2课时　奇偶性、对称性与周期性
题型一 函数奇偶性的判定
例1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝
(4)f(x)＝log2(x＋)．
解　(1)由得x2＝3，解得x＝±，
即函数f(x)的定义域为{－，}，关于原点对称．
从而f(x)＝＋＝0.
因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)由得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．
∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝.
又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
∵当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；
综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数．
(4)显然函数f(x)的定义域为R，
f(－x)＝log2[－x＋]
＝log2(－x)
＝log2(＋x)－1
＝－log2(＋x)＝－f(x)，
故f(x)为奇函数．
思维升华 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
跟踪训练1 (1)下列函数是偶函数的是(　　)
A．f(x)＝x3－sin x
B．f(x)＝3x－
C．f(x)＝x2＋tan x
D．f(x)＝x·ln(－x)
答案　D
解析　由函数奇偶性定义知，A中函数为奇函数，B中函数为奇函数，C中函数为非奇非偶函数，D中函数为偶函数．
(2)设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)g(x)|是奇函数
C．|f(x)|g(x)是偶函数
D．f(|x|)g(x)是奇函数
答案　C
解析　令F1(x)＝f(x)g(x)，
∴F1(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F1(x)，
∴F1(x)为奇函数，故A错误；
令F2(x)＝|f(x)g(x)|，
∴F2(x)＝|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|
＝|f(x)g(x)|＝F2(x)，
故F2(x)为偶函数，故B错误；
令F3(x)＝|f(x)|g(x)，
∴F3(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|f(x)|g(x)＝F3(x)，
∴F3(x)为偶函数，故C正确；
令F4(x)＝f(|x|)g(x)，
∴F4(－x)＝f(|－x|)g(－x)＝f(|x|)g(x)＝F4(x)，
∴F4(x)为偶函数，故D错误．
题型二 函数奇偶性的应用
命题点1　利用奇偶性求参数的值
例2 若函数f(x)＝x3为偶函数，则a的值为________．
答案　
解析　方法一　(定义法)∵f(x)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
∴(－x)3＝x3·，
∴2a＝－＝1，
∴a＝.
方法二　(特值法)f(x)为偶函数，
∴f(－1)＝f(1)，
又f(－1)＝－a＋2，f(1)＝a＋1，
∴－a＋2＝a＋1，∴a＝.
命题点2　利用奇偶性求解析式
例3 (2019·全国Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)等于(　　)
A．e－x－1 B．e－x＋1
C．－e－x－1 D．－e－x＋1
答案　D
解析　当x<0时，－x>0，
∵当x≥0时，f(x)＝ex－1，
∴f(－x)＝e－x－1.
又∵f(x)为奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.
命题点3　利用奇偶性求函数值
例4 已知函数f(x)＝ax3＋bx5＋2.若f(x)在区间[－t，t]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.
答案　4
解析　令g(x)＝ax3＋bx5，
则g(x)为奇函数，
当x∈[－t，t]时，g(x)max＋g(x)min＝0，
又f(x)＝g(x)＋2，
∴M＝g(x)max＋2，m＝g(x)min＋2，
∴M＋m＝g(x)max＋2＋g(x)min＋2＝4.
思维