2022届高考数学一轮复习（人教版）第2章 §2.5　对数与对数函数.docx

§2.5　对数与对数函数
考试要求　1.理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N.
以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N.
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，(a>0，且a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)．
(3)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．
3．对数函数的图象与性质
y＝logax
a>1
0<a<1
图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
性质
过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0；
当0<x<1时，y<0
当x>1时，y<0；
当0<x<1时，y>0
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
微思考
1．根据对数的换底公式，说出logab与logba，与logab的关系？
提示　logab·logba＝1，＝logab.
2．如图给出4个对数函数的图象．比较a，b，c，d与1的大小关系．
提示　0<c<d<1<a<b.
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　×　)
(2)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　×　)
(3)函数y＝loga与函数y＝ln(1＋x)－ln(1－x)是同一个函数．(　×　)
(4)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，.(　√　)
题组二　教材改编
2．设函数f(x)＝3x＋9x，则f(log32)＝________.
答案　6
解析　∵函数f(x)＝3x＋9x，
∴f(log32)＝＝2＋4＝6.
3．已知f(x)是不恒为0的函数，定义域为D，对任意x∈D，n∈N*，都有nf(x)＝f(xn)成立，则f(x)＝________.(写出满足条件的一个f(x)即可)
答案　log2x
解析　运算符合对数函数的运算法则，如f(x)＝log2x，nf(x)＝nlog2x＝log2xn＝f(xn)，可以填写f(x)＝log
2x.
4．函数的定义域是______．
答案　
解析　由，得0<2x－1≤1.
∴<x≤1.
∴函数的定义域是.
题组三　易错自纠
5．已知b>0，log5b＝a，lg b＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是(　　)
A．d＝ac B．a＝cd
C．c＝ad D．d＝a＋c
答案　B
6．计算：(log29)·(log34)＝________.
答案　4
解析　(log29)·(log34)＝×＝×＝4.
题型一 对数式的运算
例1 (1)(2020·全国Ⅰ)设alog34＝2，则4－a等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　方法一　因为alog34＝2，
所以log34a＝2，
所以4a＝32＝9，
所以4－a＝＝.
方法二　因为alog34＝2，
所以a＝＝2log43＝log432＝log49，
所以
(2)计算：lg 25＋lg 50＋lg 2·lg 500＋(lg 2)2＝____.
答案　4
解析　原式＝2lg 5＋lg(5×10)＋lg 2·lg(5×102)＋(lg 2)2
＝2lg 5＋lg 5＋1＋lg 2·(lg 5＋2)＋(lg 2)2
＝3lg 5＋1＋lg 2·lg 5＋2lg 2＋(lg 2)2
＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2(lg 5＋lg 2)
＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2
＝3(lg 5＋lg 2)＋1
＝4.
思维升华 解决对数运算问题的常用方法