2024年高考数学一轮复习（人教版） 第2章　§2.1　函数的概念及其表示.docx

§2.1　函数的概念及其表示
考试要求　1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．
知识梳理
1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的三要素
(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
常用结论
1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．
2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．(　×　)
(2)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线．(　×　)
(3)y＝x0与y＝1是同一个函数．(　×　)
(4)函数f(x)＝的定义域为R.(　√　)
教材改编题
1．(多选)下列所给图象是函数图象的是(　　)
答案　CD
解析　A中，当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象；B中，当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象；CD中，每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象．
2．下列各组函数表示同一个函数的是(　　)
A．y＝x－1与y＝
B．y＝x－1与y＝－
C．y＝2与y＝2x
D．y＝与v＝
答案　D
解析　y＝x－1的定义域为R，y＝的定义域为{x|x≠－1}，定义域不同，不是同一个函数，故选项A不正确；
y＝x－1＝与y＝－的对应关系不同，不是同一个函数，故选项B不正确；
y＝2＝2|x|与y＝2x的对应关系不同，不是同一个函数，故选项C不正确；
y＝与v＝的定义域都是(－∞，1)∪(1，＋∞)，对应关系也相同，所以是同一个函数，故选项D正确．
3．已知函数f(x)＝则函数f 等于(　　)
A．3 B．－3 C. D．－
答案　C
解析　由题意可知，f ＝ln ＝－ln 3，所以f ＝f(－ln 3)＝e－ln 3＝.
题型一　函数的定义域
例1　(1)函数y＝的定义域为(　　)
A．(－4，－1) B．(－4,1)
C．(－1,1) D．(－1,1]
答案　C
解析　由题意得解得－1<x<1，故定义域为(－1,1)．
(2)已知函数f(x)的定义域为(－4，－2)，则函数g(x)＝f(x－1)＋的定义域为________．
答案　[－2，－1)
解析　∵f(x)的定义域为(－4，－2)，
要使g(x)＝f(x－1)＋有意义，
则解得－2≤x<－1，
∴函数g(x)的定义域为[－2，－1)．
思维升华 (1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x的取值集合；(2)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(3)若复合函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域．
跟踪训练1　(1)函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．(1,3] B．(1,2)∪(2,3]
C．(1,3)∪(3，＋∞) D．(－∞，3)
答案　B
解析　由题意知
所以1<x<2或2<x≤3，
所以函数的定义域为(1,2)∪(2,3]．
(2)(2023·南阳检测)已知函数f(x)＝lg ，则函数g(x)＝f(x－1)＋的定义域是(　　)
A．{x|x>2或x<0} B.
C．{x|x>2} D.
答案　B
解析　要使f(x)＝lg 有意义，
则>0，
即(1－x)(1＋x)>0，解得－1<x<1，
所以函数f(x)的定义域为(－1,1)．
要使g(x)＝f(x－1)＋有意义，
则
解得≤x<2，
所以函数g(x)的定义域为.
题型二　函数的解析式
例2　(1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式；
(2)已知f ＝x2＋，求f(x)的解析式；
(3