2024年高考数学一轮复习（人教版） 第6章　§6.7　子数列问题[培优课].docx

§6.7　子数列问题
子数列问题包括数列中的奇偶项、公共数列以及分段数列，是近几年高考的重点和热点，一般方法是构造新数列，利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列．
题型一　奇数项与偶数项
例1　(2023·南通模拟)在数列{an}中，an＝
(1)求a1，a2，a3；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
解　(1)因为an＝
所以a1＝2×1－1＝1，a2＝22＝4，a3＝2×3－1＝5.
(2)因为an＝
所以a1，a3，a5，…是以1为首项，4为公差的等差数列，
a2，a4，a6，…是以4为首项，4为公比的等比数列．
当n为奇数时，数列的前n项中有个奇数项，有个偶数项．
所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(a1＋a3＋…＋an－2＋an)＋(a2＋a4＋…＋an－3＋an－1)
＝×1＋×4＋＝＋；
当n为偶数时，数列{an}的前n项中有个奇数项，有个偶数项．
所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(a1＋a3＋…＋an－3＋an－1)＋(a2＋a4＋…＋an－2＋an)
＝×1＋×4＋＝＋.
所以数列{an}的前n项和
Sn＝
思维升华　解答与奇偶项有关的求和问题的关键
(1)弄清n为奇数或偶数时数列的通项公式．
(2)弄清n为奇数时数列前n项中奇数项与偶数项的个数．
跟踪训练1　(2021·新高考全国Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝
(1)记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式；
(2)求{an}的前20项和．
解　(1)因为bn＝a2n，且a1＝1，an＋1＝
所以b1＝a2＝a1＋1＝2，
b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5.
因为bn＝a2n，所以bn＋1＝a2n＋2＝a2n＋1＋1＝a2n＋1＋1＝a2n＋2＋1＝a2n＋3，
所以bn＋1－bn＝a2n＋3－a2n＝3，
所以数列{bn}是以2为首项，3为公差的等差数列，bn＝2＋3(n－1)＝3n－1，n∈N*.
(2)因为an＋1＝所以当k∈N*时，
a2k＝a2k－1＋1＝a2k－1＋1，即a2k＝a2k－1＋1，①
a2k＋1＝a2k＋2，②
a2k＋2＝a2k＋1＋1＝a2k＋1＋1，即a2k＋2＝a2k＋1＋1，③
所以①＋②得a2k＋1＝a2k－1＋3，即a2k＋1－a2k－1＝3，
所以数列{an}的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
②＋③得a2k＋2＝a2k＋3，即a2k＋2－a2k＝3，
又a2＝2，所以数列{an}的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．
所以数列{an}的前20项和S20＝(a1＋a3＋a5＋…＋a19)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a20)＝10＋×3＋20＋×3＝300.
题型二　两数列的公共项
例2　数列{an}与{bn}的通项公式分别为an＝4n－1，bn＝3n＋2，它们的公共项由小到大排列组成数列{cn}，求数列{cn}的通项公式．
解　方法一　设ak＝bm＝cp，则4k－1＝3m＋2，
所以k＝，
因为3,4互质，
所以m＋1必为4的倍数，即m＝4p－1，
所以cp＝bm＝3(4p－1)＋2＝12p－1，
即数列{cn}的通项公式为cn＝12n－1.
方法二　由观察可知，两个数列的第一个公共项为11，
所以c1＝11.
设ak＝bm＝cp，则4k－1＝3m＋2，
所以ak＋1＝4(k＋1)－1＝4k＋3＝3m＋6＝3＋2不是数列{bn}中的项，
ak＋2＝4(k＋2)－1＝4k＋7＝3m＋10＝3＋2不是数列{bn}中的项，
ak＋3＝4(k＋3)－1＝4k＋11＝3m＋14＝3(m＋4)＋2是数列{bn}中的项．
所以cp＋1＝ak＋3，则cp＋1－cp＝ak＋3－ak＝3×4＝12，
所以数列{cn}是等差数列，其公差为12，首项为11，
因此，数列{cn}的通项公式为cn＝12n－1.
思维升华　解决两个等差数列的公共项问题时，有两种方法：
(1)不定方程法：列出两个项相等的不定方程，利用数论中的整除知识，求出符合条件的项，并解出相应的通项公式；
(2)周期法：即寻找下一项．通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断变化较大(如公差的绝对值大)的数列中的项是否为另一个数列中的项，并找到规律(周期)，分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式．
跟踪训练2　(1)已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝4n－2(1≤n≤100，n∈N*)，bn＝6n－4(n∈N*)，由这两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列{cn}，则数列{cn}的各项之和为(　　)
A．6 788 B．6 800 C．6