2024年高考数学一轮复习（人教版） 第7章　§7.7　向量法求空间角.docx

§7.7　向量法求空间角
考试要求　能用向量法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用．
知识梳理
1．异面直线所成的角
若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝.
2．直线与平面所成的角
如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝.
3．平面与平面的夹角
如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．
若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．(　×　)
(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(　×　)
(3)两异面直线所成角的范围是，直线与平面所成角的范围是.(　√　)
(4)直线的方向向量为u，平面的法向量为n，则线面角θ满足sin θ＝cos〈u，n〉．(　×　)
教材改编题
1．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m，n〉＝－，则直线l与平面α所成的角为(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
答案　A
解析　由于cos〈m，n〉＝－，所以〈m，n〉＝120°，所以直线l与平面α所成的角为30°.
2．已知直线l1的方向向量s1＝(1,0,1)与直线l2的方向向量s2＝(－1,2，－2)，则直线l1和l2所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　因为s1＝(1,0,1)，s2＝(－1,2，－2)，
所以cos〈s1，s2〉＝＝＝－.
所以直线l1和l2所成角的余弦值为.
3．平面α的一个法向量为m＝(1,2，－2)，平面β的一个法向量为n＝(2,2,1)，则平面α与平面β夹角的正切值为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　设平面α与平面β的夹角为θ，
则cos θ＝|cos〈m，n〉|＝＝，
则sin θ＝＝＝，
所以tan θ＝＝.
题型一　异面直线所成的角
例1　(1)若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积为，AB＝1，则直线AB1与CD1所成的角为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案　C
解析　∵正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积为，AB＝1，
∴AA1＝，
以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1,0,0)，B1(1,1，)，C(0,1,0)，D1(0,0，)，
＝(0,1，)，＝(0，－1，)，
设直线AB1与CD1所成的角为θ，
则cos θ＝＝＝.
又0°＜θ ≤90°，∴θ＝60°，∴直线AB1与CD1所成的角为60°.
(2)(2022·杭州模拟)如图，已知圆锥CO的截面△ABC是正三角形，AB是底面圆O的直径，点D在上，且∠AOD＝2∠BOD，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　因为∠AOD＝2∠BOD，
且∠AOD＋∠BOD＝π，
所以∠BOD＝，
连接CO，则CO⊥平面ABD，以点O为坐标原点，OB，OC所在直线分别为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设圆O的半径为2，
则A(0，－2,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，D(，1,0)，
＝(，3,0)，＝(0，－2,2)，
设异面直线AD与BC所成的角为θ，
则cos θ＝|cos〈，〉|＝＝＝，
所以异面直线AD与BC所成角的余弦值为.
思维升华　用向量法求异面直线所成的角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系．
(2)用坐标表示两异面直线的方向向量．
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值．
(4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．
跟踪训练1　(1)有公共边的△ABC和△BCD均为等边三角形，且所在平面互相垂直，则异面直线AB和CD所成角的余弦值为________．
答案　
解析　设等边三角形的边长为2.取BC的中点O，连接OA，OD.因为△ABC和△BCD所在平面互