2024年高考数学一轮复习（人教版） 第9章　§9.2　用样本估计总体.docx

§9.2　用样本估计总体
考试要求　1.会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数.2.能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度．
知识梳理
1．百分位数
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
2．平均数、中位数和众数
(1)平均数：＝(x1＋x2＋…＋xn)．
(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)．
(3)众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据)．
3．方差和标准差
(1)方差：s2＝(xi－)2或－2.
(2)标准差：s＝.
4．总体(样本)方差和总体(样本)标准差
(1)一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则总体方差S2＝(Yi－)2.
(2)加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝i(Yi－)2.
常用结论
1．若x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为m＋a.
2．数据x1，x2，…，xn与数据x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a 的方差相等，即数据经过平移后方差不变．
3．若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近．(　×　)
(2)方差与标准差具有相同的单位．(　×　)
(3)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变．(　√　)
(4)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．(　√　)
教材改编题
1．若数据x1，x2，…，x9的方差为2，则数据2x1，2x2，…，2x9的方差为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
答案　D
解析　根据方差的性质可知，数据x1，x2，…，x9的方差s2＝2，那么数据2x1，2x2，…，2x9的方差为22s2＝8.
2．某射击运动员7次的训练成绩分别为86,88,90,89,88,87,85，则这7次成绩的第80百分位数为(　　)
A．88.5 B．89 C．91 D．89.5
答案　B
解析　7次的训练成绩从小到大排列为85,86,87,88,88,89,90，
7×80%＝5.6，所以第80百分位数为从小到大排列的数据中的第6个数据，即89.
3．某校体育节10名旗手的身高(单位：cm)分别为175,178,176,180,179,175,176,179,180,179，则中位数为________．
答案　178.5
解析　把10名旗手的身高从小到大排列为175,175,176,176,178,179,179,179,180,180，
则＝178.5，所以所求中位数为178.5.
题型一　样本的数字特征和百分位数的估计
例1　(1)从某中学抽取10名同学，他们的数学成绩如下：82,85,88,90,92,92,92,96,96,98(单位：分)，则这10名同学数学成绩的众数、第25百分位数分别为(　　)
A．92,85 B．92,88
C．95,88 D．96,85
答案　B
解析　数据92出现了3次，出现的次数最多，所以众数是92；这组数据已经按照由小到大
的顺序排列，计算10×25%＝2.5，取第三个数，所以第25百分位数是88.
延伸探究 本例中，第70百分位数是多少？
解　10×70%＝7，第70百分位数是第7项与第8项的平均数，为＝94.
(2)(多选)(2023·哈尔滨模拟)下面是某城市某日在不同观测点对细颗粒物(PM2.5)的观测值：
396　275　268　225　168　166　176　173
188　168　141　157
若在此组数据中增加一个比现有的最大值大25的数据，下列数字特征发生改变的是(　　)
A．极差 B．中位数
C．众数 D．平均数
答案　ABD
解析　根据题意，若在此组数据中增加一个比现有的最大值大25的数据，即最大值变为396＋25＝421，极差为最大值与最小值的差，要发生改变；
加入数据前，中位数为×(173＋176)＝174.5，加入数据后，中位数为176，发生改变；
众数为数据中出现次数最多的数，不