人教版高中数学4.4 求和方法（精讲）（基础版）（解析版）.docx

4.4 求和方法（精讲）（基础版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 裂项相消
【例1】（2022·河南）已知正项数列的前项和为，且．
(1)求的值和数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)；；(2).
【解析】(1)由得：；
为正项数列，，；
当时，；
当时，；
经检验：满足；.
(2)由（1）得：，
.
【一隅三反】
1．（2022·河北保定·一模）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求的前项和．
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)因为，故当时，，
当时，，则，
当时，满足上式，所以.
(2)由（1）得，
所以.
故数列的前项和.
2．（2022·江西鹰潭·一模）已知正项数列的首项，前n项和满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)；(2)或.
【解析】(1)当时，，
∴，即，又，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，故，
又由（），
当时，也适合，所以.
(2)∵，
∴，
又∵对任意的，不等式恒成立，，
∴，解得或.即所求实数的范围是或.
3．（2022·重庆）数列满足：，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，为数列的前n项和，若恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)，(2)或
【解析】(1)解：当，，①
，，②
①－②得（*）
在①中令，得，也满足（*），所以，，
(2)解：由（1）知，，
故，
于是，
因为随n的增大而增大，
所以，解得或
所以实数m的取值范围是或.
考点二 错位相减
【例2】（2022·陕西榆林·三模）已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)当时，，解得.
当时，，整理得，
所以是以9为首项，3为公比的等比数列，故.
(2)由（1）知，，则①，
所以②，
①-②得：，
故.
【一隅三反】
1．（2022·河南）已知在数列中，，，．
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)由题意，可知当时，，故，
当时，，故．综上所述，．
(2)依题意，．
故，
，
两式相减可得，
化简可得．
2．（2022·四川省内江市第六中学）已知数列的前项和为，满足，．
(1)求证：数列为等比数列并求数列的通项公式；
(2)设，求前项和．
【答案】(1)证明见解析，(2)
【解析】(1)，①，当时，②，①减去②得，
，，
可得数列是首项为1，公比为2的等比数列．．
(2)，，
①，②
①减去②得，
．
3．（2022·江西·上饶市第一中学二模）在等差数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)设等差数列的公差为，由，，
得：，解得：数列的通项公式为：.
(2)由（1）知：，
所以①
②
①减去②得：
，所以.
考点三 分组求和
【例3-1】（2022·甘肃兰州）在①，②是和的等比中项，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
问题：已知公差d不为0的等差数列的前n项和为，．
(1)______，求数列的通项公式；
(2)若数列，，求数列的前n项和．
【答案】(1)答案见详解；(2)
【解析】(1)选①：由于，
所以，又，所以，故
所以；
选②：是和的等比中项，则，
所以，又，解得，（舍去）
所以；
(2)，，则
【例3-2】（2022·福建三明·模拟预测）设数列的前项和为，，，．
(1)求证：是等比数列；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：对任意的，，
当时，则有，解得，
当时，由可得，
上述两个等式作差得，所以，，则，
所以，且，所以，数列是等比数列，且首项和公比均为.
(2)解：由（1）可知，所以，，
所以，
.
【一隅三反】
1．（2022·四川攀枝花）在①，②是，的等差中项，③．这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题．
已知正项等比数列的前n项和为，，且满足______（只需填序号）．
(1)求数列的通项公式；
(