人教版高中数学7.1 空间几何中的平行（精练）（基础版）（解析版）.docx

7.1 空间几何中的平行（精练）（基础版）
题组一 三角形中位线
1．（2022·云南丽江）如图，在四棱锥中，底面是正方形，与交于点O，E为的中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：∵四边形为正方形，∴O为的中点，∵E为的中点，∴，又∵平面平面，∴平面；
2（2022·四川宜宾）如图，正方形ABED的边长为1，G，F分别是EC，BD的中点，求证：平面ABC
【答案】证明见解析；
【解析】如图，连接AE，因F是正方形ABED对角线BD的中点，则F是AE的中点，而G是CE的中点，则，又平面，平面，所以平面.
3．（2022·浙江·瑞安市第六中学高一阶段练****如图，在四棱锥中，底面为矩形，为中点，证明：平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：设，连接，因为分别为中点，所以//，平面，平面，所以//平面．
4．（2022·河北唐山）如图，在直三棱柱中，为的中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：连接，设，连接，在直三棱柱中，四边形为平行四边形，则为的中点，又因为为的中点，则，因为平面，平面，因此，平面.
5．（2022·吉林·长春市实验中学）已知直三棱柱中，D为AB中点，求证：平面
【答案】证明见解析；
【解析】在直三棱柱中，连，连，如图，则O为中点，而D为AB中点，则有
，又平面，平面，所以平面.
题组二 构造平行四边形
1．（2022·黑龙江·哈师大附中高一期末）四棱锥底面为直角梯形，，，为的中点，求证：平面
【答案】证明见解析；
【解析】取的中点，连接，如图所示，
为的中点，为的中点，，且，又底面为直角梯形，,，，，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面.
2．（2022·辽宁朝阳）如图，在直三棱柱中，分别是，的中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：在直三棱柱中，分别是的中点，
取的中点，连接，
所以.
因为，所以，
所以四边形 是平行四边形，所以 .
因为平面 平面，
所以平面.
3．（2022·吉林·长春市第五中学）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，为侧棱的中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】取的中点，连接，，在中，，在梯形中，，∴，，∴四边形是平行四边形，∴，而平面，平面，∴平面；
4．（2022·辽宁抚顺·高一期末）在正方体中，分别是和的中点.求证：
(1)平面.
(2)平面平面.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】（1）连接，因为四边形为正方形，为中点，所以为中点，又因为为中点，所以.因为平面平面，所以平面，
连接，因为四边形为正方形，为中点，所以为中点.又因为为中点，所以.因为平面平面所以平面.由（1）知平面，又，平面，所以平面平面.
5．（2022·辽宁抚顺·高一期末）直四棱柱，底面是平行四边分别是棱的中点，求证：平面
【答案】见解析
【解析】证明：取的中点，连结，在中，分别为的中点，所以且，底面是平行四边形，是棱的中点，所以且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以平面平面，所以平面
6．（2022·湖南衡阳）如图，四棱柱的底面ABCD为正方形，O为BD的中点，，求证：平面∥平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为四棱柱的底面ABCD为正方形，
所以∥，，∥，，
所以∥，，
所以四边形为平行四边形，
所以∥．
又平面，平面，
所以∥平面，
同理∥平面．
又，
所以平面∥平面．
7．（2022·福建·厦门市湖滨中学）如图，在正方体中，为的中点，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】
（1）证明：连接交于点，则为的中点，因为为的中点，则，平面，平面，因此，平面.
（2）证明：因为且，为的中点，为的中点，所以，，，所以，四边形为平行四边形，所以，，平面，平面，所以，平面，因为，因此，平面平面.
题组三 等比例
1．（2022·江西南昌）两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，，，且，过M作于H，求证：
(1)平面平面BCE；
(2)平面BCE.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】（1）在正方形ABCD中，，，则，又平面，平面，因此