人教版高中数学7.4 几何法求空间角（精练）（基础版）（解析版）.docx

7.4 几何法求空间角（精练）（基础版）
题组一 线线角
1．（2022·全国·模拟预测）如图，在正方体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的大小为（       ）
A．30° B．90° C．45° D．60°
【答案】C
【解析】如图，在正方体中，连接交于，连接，因为，分别为，的中点，所以，所以异面直线与所成角即与所成角，易知．
故选C．
2．（2023·全国·高三专题练****在长方体中，点E为的中点，，且，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
连接，由可得或其补角即为异面直线AE与BC所成角，又面，面，则，
则，同理可得，，则，，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为.故选：C.
3．（2023·全国·高三专题练****文））如图，在四面体ABCD中，平面BCD，，P为AC的中点，则直线BP与AD所成的角为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在四面体ABCD中，平面，平面，则，而，
即，又，平面，则有平面，而平面，
于是得，因P为AC的中点，即，而，平面，
则平面，又平面，从而得，
所以直线BP与AD所成的角为.故选：D
4．（2022·河南省）如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】把三棱柱补成如图所示长方体，连接，CD，则，
所以即为异面直线与所成角（或补角）．
由题意可得，
，，
所以．
故选：B．
5．（2022·青海西宁·二模（理））如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，异面直线与所成的角为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】把展开图还原成正方体如图所示，
由于且相等，故异面直线与所成的角就是和所成的角，
故 (或其补角)为所求，
再由是等边三角形，可得.
故选：C.
题组二 线面角
1．（2022·浙江·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，，M是的中点，连接，，．
(1)求证：；
(2)若，求直线与平面所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)连接，．
因为，M是的中点，所以，
因为平面平面，平面平面，所以平面，
而平面，所以，
在矩形中，M是的中点，，，所以，
所以，而，，平面，所以平面，
而平面，所以．
(2)由（1）知，平面，所以，
在直角中，，所以，
因为，所以直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角，
而平面平面，平面平面，又，
所以平面，从而平面平面，且平面平面，
过B点作直线于H，则平面，
所以直线与平面所成的角即为，
在个，，，所以，，
因此直线与平面所成角的余弦值为．
2．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））如图，菱形ABCD中，把△BDC沿BD折起，使得点C至P处.
(1)证明：平面PAC⊥平面ABCD；
(2)若与平面ABD所成角的余弦值为，，求三棱锥P—ABD的体积.
【答案】(1)证明见解析(2)1
【解析】(1)如图所示，取AC与BD的交点为O，连接PO，
∵四边形ABCD为菱形，现把△BDC沿BD折起，使得点C至P处，
，∴，
∵AC平面PAC，PO平面PAC，,
∴BD⊥平面PAC，又BD平面ABCD，∴平面PAC⊥平面ABCD．
(2)作于H点，
∵，∴△PAC为直角三角形，
因为平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面，
所以PH⊥平面ABCD，所以，
∵PA与平面ABD所成角的余弦值为，即，
∴△PAC为等腰直角三角形，∴H与O重合，
∵，菱形ABCD中，
∴，
.
3．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校高一期末）四棱锥，底面ABCD是平行四边形，，且平面SCD平面ABCD，点E在棱SC上，直线平面BDE.
(1)求证：E为棱SC的中点；
(2)设二面角的大小为，且.求直线BE与平面ABCD所成的角的正切值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）连AC交BD于F，连EF．∵ABCD是平行四边形，∴∵直线平面BDE，面PAC，面面，∴，由是中点，∴E为棱SC的中点；
（2）取DC中点O，OC中点G，连SO，OF，GE，BG
∵侧面SCD满足，不妨设∴，∵平面平面ABCD，平面平面∴平面ABCD，又平面ABCD，故，∵∴∵ ∴       ，∴，又，