人教版高中数学7.4 空间距离（精讲）（提升版）（解析版）.docx

7.4 空间距离（精讲）（提升版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 点线距
【例1】（2022·浙江绍兴）如图，在正三棱柱中，若，则C到直线的距离为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知，，
取AC的中点O，则，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
所以在上的投影的长度为，
故点C到直线的距离为：.
故选：D
【一隅三反】
1．（2022·湖南益阳）在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（       ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知，得，，，
，，
所以在上的投影为，
所以点到直线的距离为故选：B
2．（2022·山东）点是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是______．
【答案】
【解析】由题意，点和，可得，且，
所以点到直线的距离是.
故答案为：.
3．（2022云南）如图，已知三棱柱的棱长均为2，，．
(1)证明：平面平面ABC；
(2)设M为侧棱上的点，若平面与平面ABC夹角的余弦值为，求点M到直线距离．
【答案】(1)见解析(2)
【解析】(1)取AC的中点O，连接，，，所以由题设可知，为边长为2的等边三角形，所以，
由，，所以所以平面ABC；
平面,所以平面平面ABC；
(2)以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴，以所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
所以
设可得，
设平面的法向量为则
即取
所以因为为平面ABC的一个法向量，
设平面与平面ABC夹角为，
解得，所以
所以点M到直线距离
考点二 点面距
【例2-1】（2022·哈尔滨）在长方体中，，，则点到平面的距离等于_____.
【答案】
【解析】如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
点到平面的距离：．
故答案为：.
【例2-2】（2022·河北廊坊）如图所示，在长方体中，，点E是棱的中点，则点E到平面的距离为（       ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】设点E到平面的距离为h，
因为点E是棱的中点，
所以点E到平面的距离等于点B到平面的距离的一半，
又平面过的中点，
所以点B到平面的距离等于点D到平面的距离，
由等体积法，
所以，
，，
在中，，
所以，
则解得，
即点E到平面的距离为.故选：B.
【一隅三反】
1.（2022·江苏常州）已知正方体的棱长为2，，分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，易知，
设平面的法向量，则，令，解得，
故点到平面的距离为.
故选：A.
2．（2022·福建省福州第一中学高一期末）将边长为2的正方形沿对角线折起，使得平面⊥平面，则点到平面的距离等于（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】取中点为,四边形是边长为2的正方形，，
则，，
由题知，平面平面，且交线为，.且平面，
则平面，又平面，所以，
在中，，
是等边三角形，则，
则在中，，
设点到平面的距离为，
则，即，即：，解得：，
即到平面的距离为．故选：D．
3．（2022·内蒙古）如图，在长方体中，四边形是边长为2a的正方形，AD＝2AB.
(1)若长方体的表面积为200，求a的值；
(2)若a＝1，求点到平面的距离h.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）因为在长方体中，四边形是边长为的正方形，.所以长方体的表面积为，所以，解得；
（2）因为，由已知得，，连接，，在三棱锥中，，由长方体的性质知，点到平面的距离为，在中，由勾股定理知，由长方体的性质知，，所以的面积，因为点到平面的距离为，又所以，所以，解得.
考点三 线线距
【例3】（2022·全国·高三专题练****在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，以为原点，所在直线为轴如图建立空间直角坐标系
则
设直线与的公垂线的方向向量为则
不妨令又
则异面直线与之间的距离故选：D