人教版高中数学7.6 空间向量求空间距离（精讲）（基础版）（解析版）.docx

7.6 空间向量求空间距离（精讲）（基础版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 点线距
【例1】（2022·福建）在空间直角坐标系中，点，则到直线的距离为___．
【答案】
【解析】依题意得，则到直线的距离为故答案为：
【一隅三反】
1（2022·北京·二模）如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（       ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】如图建立空间直角坐标系，则，
设，则，
∴动点P到直线的距离为
，当时取等号，
即线段上的动点P到直线的距离的最小值为.
故选：D.
2．（2022·浙江绍兴）如图，在正三棱柱中，若，则C到直线的距离为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知，，
取AC的中点O，则，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
所以在上的投影的长度为，
故点C到直线的距离为：.
故选：D
3．（2022·广东）如图，在棱长为4的正方体中，E为BC的中点，点P在线段上，点Р到直线的距离的最小值为_______.
【答案】
【解析】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
因点P在线段上，则，，
，向量在向量上投影长为，
而，则点Р到直线的距离
，当且仅当时取“=”，
所以点Р到直线的距离的最小值为.
故答案为：
考点二 点面距
【例2】（2022·江苏常州）已知正方体的棱长为2，，分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，易知，
设平面的法向量，则，令，解得，
故点到平面的距离为.
故选：A.
【一隅三反】
1．（2022·哈尔滨）在长方体中，，，则点到平面的距离等于_____.
【答案】
【解析】如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
点到平面的距离：．
故答案为：.
2．（2022·江苏）将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则点到平面的距离为___．
【答案】
【解析】记AC与BD的交点为O，图1中，由正方形性质可知，
所以在图2中，，所以，即
如图建立空间直角坐标系，易知
则
则
设为平面ABC的法向量，
则，取，得
所以点到平面的距离
故答案为：
3．（2022·福建福州）如图，在正四棱柱中，已知，，E，F分别为，上的点，且．
(1)求证：平面ACF：
(2)求点B到平面ACF的距离．
【答案】(1)证明见详解.(2).
【解析】（1）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则,设面的一个法向量为，，可得，即，不妨令则,平面.
（2），则点到平面的距离为.
考点三 线线距
【例3】（2022·全国·高三专题练****在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，以为原点，所在直线为轴如图建立空间直角坐标系
则
设直线与的公垂线的方向向量为则
不妨令又
则异面直线与之间的距离故选：D
【一隅三反】
1．（2022·山东）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，则，，
设和的公垂线的方向向量，
则，即，令，则，
，.故选：D.
【点睛】