人教版高中数学8.6 分布列与其他知识综合运用（精练）（提升版）（解析版）.docx

8.6 分布列与其他知识综合运用（精练）（提升版）
题组一 与数列综合
1．（2022·重庆市模拟）为有效防控新冠疫情从境外输入，中国民航局根据相关法律宣布从2020年6月8日起实施航班熔断机制，即航空公司同一航线航班，入境后核酸检测结果为阳性的旅客人数达到一定数量的民航局对其发出“熔断”指令，暂停该公司该航线的运行（达到5个暂停运行1周，达到10个暂停运行4周），并规定“熔断期”的航班量不得调整用于其他航线，“熔断期”结束后，航空公司方可恢复每周1班航班计划.已知某国际航空公司A航线计划每周有一次航班入境，该航线第一次航班被熔断的概率是，且被熔断的一次航班的下一次航班也被熔断的概率是，未被熔断的一次航班的下一次航班也未被熔断的概率是.一条航线处于“熔断期”的原计划航班不记入该航线的航班次数，记该航空公司A航线的第n次航班被熔断的概率为.
（1）求；
（2）证明：为等比数列；
（3）求数列的前项和，并说明的实际意义.
【答案】见解析
【解析】（1）解：；
（2）证明：由题得，
∴，
又，∴数列是以为首项、为公比的等比数列；
（3）解：由（2）知，故，
从而，
由于可以理解为第次航班平均被熔断的次数，
∴表示前次航班一共被熔断的次数.
2．（2021·高州模拟）为落实《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，完善学校体育“健康知识＋基本运动技能＋专项运动技能”教学模式，建立“校内竞赛－校级联赛－选拔性竞赛－国际交流比赛”为一体的竞赛体系，构建校、县（区）、地（市）、省、国家五级学校体育竞赛制度．某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱．其间甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得 分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为 ，乙每次踢球命中的概率为 ，且各次踢球互不影响．
（1）经过1轮踢球，记甲的得分为 ，求 的数学期望；
（2）若经过 轮踢球，用 表示经过第 轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率．
①求 ， ， ；
②规定 ，且有 ，请根据①中 ， ， 的值求出 、 ，并求出数列 的通项公式．
【答案】见解析
【解析】（1）记一轮踢球，甲命中为事件 ，乙命中为事件 ， ， 相互独立．
由题意 ， ，甲的得分 的可能取值为 ，0，1．
，
．
，
∴X的分布列为：
X
-1
0
1
P
．
（2）①由（1） ，
．
经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得-1分．
∴ ，
②∵规定 ，且有 ，
∴ 代入得： ，
∴ ，∴数列 是等比数列，
公比为 ，首项为 ，∴ ．
∴
3．（2022·廊坊模拟）有人玩掷硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面为等可能性事件，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，……，第100站.一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋向前跳一站（从k到 ），若掷出反面，棋向前跳两站（从k到 ），直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或跳到第100站（失败集中营）时，该游戏结束.设棋子跳到第n站概率为 .
（1）求 ， ， 的值；
（2）求证： ，其中 ， ；
（3）求 及 的值.
【答案】见解析
【解析】（1）解：棋子开始在第0站为必然事件，∴ .
第一次掷硬币出现正面，棋子跳到第1站，其概率为 ，∴ .
棋子跳到第2站应从如下两方面考虑：
①前两次掷硬币都出现正面，其概率为 ；
②第一次掷硬币出现反面，其概率为 .
∴ .
（2）证明：棋子跳到第n（ ）站的情况是下列两种，而且也只有两种：
①棋子先到第 站，又掷出反面，其概率为 ；
②棋子先到第 站，又掷出正面，其概率为 .
∴ .
∴ .
（3）解：由（2）知，当 时，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.
∴ ， ，
，…， .
以上各式相加，得 ，
∴ .
∴ ，
.
4．（2022·太原二模）足球运动是深受人们喜爱的一项体育运动，其中守门员扑点球和传球是足球训练中的两个重要训练项目．
（1）假设发点球时，球员等可能地选择左、