人教版高中数学8.7 指数运算及指数函数（精讲）（基础版）（解析版）.docx

8.7 指数运算及指数函数（精讲）（基础版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 指数的运算
【例1】（2022·全国·高三专题练****化简：
（1）
（2）(a>0，b>0).
（3）.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】1）原式
（2）原式＝.
（3）原式.
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练****计算：
(1)
(2)；
(3)
(4)求值：
【答案】(1)(2)(3)625(4)
【解析】由对数和指数的运算求解即可.
(1)
(2)
(3)原式
.
(4)
2．（2023·全国·高三专题练****已知，且，求下列各式的值：
(1)；(2)；(3)．
【答案】(1)(2)(3)
【解析】(1)因为，且，所以；
(2)因为，所以，则，因为，所以舍去）；
(3)解：.
3（2023·全国·高三专题练****1）计算：；
（2）已知是方程的两根，求的值.
【答案】（1）16；（2）．
【解析】（1）原式＝；
（2）由题意，，又，而，所以，
所以
，
考点二 指数函数的三要素
【例2-1】（2022大同期中）函数 是指数函数，则有（　　）
A．a＝1或a＝3 B．a＝1 C．a＝3 D．a＞0且a≠1
【答案】C
【解析】由已知得 ，即 ，解得 。 故答案为：C
【例2-2】（2022赣州）函数 的值域为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的值域是 ．故答案为：B．
【一隅三反】
1．（2022保山月考）若函数 是指数函数，则（　　）
A． 或 B．
C． D． 且
【答案】C
【解析】由题意得 ，解得 . 故答案为：C
2．（2022湖北期末）已知实数a的取值能使函数的值域为，实数b的取值能使函数的值域为，则（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】依题意知：的值域为，则若函数的值域为，则的最小值为2，令解得：
∴5．故答案为：B
3．（2022·全国·高三专题练****已知函数的定义域为，则_________．
【答案】
【解析】由题意可知，不等式的解集为，则，解得，
当时，由，可得，解得，合乎题意.
故答案为：.
4．（2022·上海·高三开学考试）若函数的值域为，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】令，由题意得的值域为，
又的值域为，所以解得
所以的取值范围为．故答案为：
考点三 指数函数的性质
【例3-1】（2023·全国·高三专题练****已知函数（为常数）．若在区间上是增函数，则a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数为增函数，若在区间上是增函数，
由复合函数的单调性知，必有在区间上是增函数，
又在区间上是增函数，所以，故有.故选：B．
【例3-2】（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练****文））设函数则满足的实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】①当时，，此时，不合题意；
②当时，，可化为，所以，解得．
综上，实数的取值范围是．
故选：B．
【例3-3】（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试）已知，则a，b，c大小关系为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为.所以.
因为.所以.所以.故选：A.
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练****已知，则的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵是减函数，，所以，又，∴．故选：C．
2．（2023·全国·高三专题练****若关于的不等式（）恒成立，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，又恒成立，即恒成立，
因为在上单调递减，所以，所以，即；
故选：B
3．（2022·上海长宁·二模）若函数存在反函数，则常数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数存在反函数，
所以函数在上单调，
若单调递增，即，则在上恒成立，即在上恒成立，
因为在上单调递增，所以，所以；
若单调递减，即，则在上恒成立，即在上恒成立，
因为在上单调递增，所以，所以；综上可得；故选：D
4．