人教版高中数学第2讲 计数原理(解析版）.docx

第2讲　计数原理
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：两个计数原理的综合应用
突破二：排列，组合综合应用
突破三：二项式定理
突破四：二项式系数
突破五：项的系数
突破六：杨辉三角形
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
1、分类加法计数原理
（1）定义：完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.
（2）推广：如果完成一件事情有类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,……在第类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.
2、分步乘法计数原理
（1）定义：完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.
（2）推广：完成一件事需要个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,……做第步有种不同的方法,则完成这件事共有种不同的方法.
3、排列数与排列数公式
（1）定义：从个不同元素中取出()个元素的所有不同排列的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的排列数,用符号表示.
（2）排列数公式
①（连乘形式）：，，
②（阶乘形式），，
（3）全排列：把个不同的元素全部取出的一个排列,叫做个元素的一个全排列,用符号表示.
（4）阶乘：正整数1到的连乘积,叫做的阶乘,用符号表示.
4、组合数与组合数公式
（1）组合数的定义：从个不同元素中取出()个元素的所有不同组合的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的组合数,用符号表示.
（2）组合数公式
或：（，）.
规定：
5、组合数的性质
（1）性质1：
（2）性质2：
6、二项式定理及相关概念
（1）二项式定理
一般地，对于每个（），的展开式中共有个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：（）.这个公式叫做二项式定理.
（2）二项展开式
公式中：，等号右边的多项式叫做的二项展开式.
（3）二项式系数与项的系数
二项展开式中各项的二项式系数为(),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等.
（4）二项式定理的三种常见变形
①
②
③
7、二项展开式的通项
二项展开式中的()叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:.通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有着广泛的应用.
8、二项式系数的性质
①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等：
②增减性：当时，二项式系数递增，当时，二项式系数递减；
③最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大.
④各二项式系数和： ；
奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：
第二部分：重难点题型突破
突破一：两个计数原理的综合应用
1．（2022·甘肃·兰州一中高二期中）4张卡片的正、反面分别写有数字1，2；1，3；4，5；6，7．将这4张卡片排成一排，可构成不同的四位数的个数为（    ）
A．288 B．336 C．368 D．412
【答案】B
【详解】当四位数不出现1时，排法有：种；
当四位数出现一个1时，排法有：种；
当四位数出现两个1时，排法有：种；
所以不同的四位数的个数共有：．
故选：B．
2．（2022·全国·高三专题练****有三个盒子，每个盒子里有若干大小形状都相同的卡片.第一个盒子中有三张分别标号为的卡片；第二个盒子中有五张分别标号为的卡片；第三个盒子中有七张分别标号为的卡片.现从每个盒子中随机抽取一张卡片，设从第个盒子中取出的卡片的号码为，则为奇数的概率是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】从三个盒子中各随机抽取一张卡片可分为三步完成，第一步从第一个盒子中取一张卡片，有3种方法，第二步从第二个盒子中取一张卡片，有5种方法，第三步从第三个盒子中取一张卡片，有7种方法，由分步乘法计数原理可得共有
种方法，事件为奇数等价于，，都为奇数或，，中有一个为奇数，两个为偶数，其中事件，，都为奇数包含个基本事件，即24个基本事件，事件为奇数，，为偶数包含个基本事件，即12个基本事件，事件为奇数，，为偶数包含个基本事件，即9个基本事件，事件为奇数，，为偶数包含个基本事件，即8个基本事件，所以事件包含的基本事件数为，即53个基本事件，
所以，
故选：B.
3．（2022·辽宁·同泽高中高二阶段练****小小的火柴棒可以拼成几何图形，