人教版高中数学第04讲 正弦定理和余弦定理 (精讲）（教师版）.docx

第04讲 正弦定理和余弦定理 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：利用正、余弦定理解三角形
角度1：三角形个数问题
角度2：利用正弦定理解三角形
角度3：利用余弦定理解三角形
角度4：正余弦定理综合应用
高频考点二：判断三角形的形状
高频考点三：三角形面积相关问题
角度1：求三角形面积
角度2：根据面积求参数
角度3：三角形面积的最值
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、正弦定理
1.1正弦定理的描述
①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.
②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有
1.2正弦定理的推广及常用变形公式
在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则
①
②；；；
③
④
⑤，，（可实现边到角的转化）
⑥，，（可实现角到边的转化）
2、余弦定理
2.1余弦定理的描述
①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.
②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则：
；
2.2余弦定理的推论
；
；
3、三角形常用面积公式
①；
②；
③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）；
④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径).
4、常用结论
在三角形中的三角函数关系
①
②
③
④
⑤
⑥若
⑦若或
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
一、判断题
1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）在中，若，则   ( )
【答案】正确
因为在中，，
所以由正弦定理得（为外接圆半径），
所以，
所以由三角形中大边对大角，得，
故答案为：正确
2．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练****在中，若，则( )
【答案】×
，则，，
由余弦定理可得，
，所以，.
故答案为：×.
二、单选题
3．（2022·河南·安阳一中高一阶段练****若在，则三角形的形状一定是（       ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】B
由以及余弦定理得，
化简得，所以三角形的形状一定是等腰三角形.
故选：B
4．（2022·天津市微山路中学高一阶段练****在中，，，，则（       ）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
【答案】A
【详解】
由正弦定理，所以，
又，所以
所以．
故选：A.
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：利用正、余弦定理解三角形
角度1：三角形个数问题
例题1．（2022·河南洛阳·高二阶段练****理））已知△的内角的对边分别为，“满足，的有两个”的必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由题画图，“满足，A =的有两个”时，应满足，即.故 “满足，A =
的有两个”的必要不充分条件是
故选：A
例题2．（2022·河南宋基信阳实验中学高一阶段练****下列条件判断三角形解的情况，正确的的个数是（  ）．
①，，，有两解；
②，，，有一解；
③，，，无解；
④，，，有一解．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
对于①，由正弦定理 ，
则由 ,可得 有一解，故三角形的解有一个,错误；
对于②，由正弦定理，
因为 ，故 ,则三角形的解有两解，错误；
对于③，由正弦定理 ，
则由且   ,可得 有一解，故三角形的解有一个，错误；
对于④，由正弦定理 ，
则由且,可得 有一解，故三角形的解有一个,正确,
故选：A
例题3．（2022·辽宁·东北育才学校高一期中）在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
解：由正弦定理可得，
对于选项A，，，，有，∴，∴，故△ABC有唯一解．
对于选项B，，，，又，故，故△ABC无解．
对于选项C，，，，有，∴，又，故△ABC有两个解．
对于选项D，，，，由，得，故B为锐角，故△ABC有唯一解．
故选：C．
题型归类练
1．（2022·山西运城·高一期中）在中，，，，若满足条件的三角形有两个，则m的取值范围