人教版高中数学第4章 §4.5　三角函数的图象与性质.docx

§4.5　三角函数的图象与性质
考试要求　1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上，正切函数在上的性质．
知识梳理
1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
[2kπ－π，2kπ]
递减区间
[2kπ，2kπ＋π]
对称中心
(kπ，0)
对称轴方程
x＝kπ＋
x＝kπ
常用结论
1．对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
2．奇偶性
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)．
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．(　×　)
(2)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　×　)
(3)y＝sin|x|是偶函数．(　√　)
(4)若非零实数T是函数f(x)的周期，则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期．(　√　)
教材改编题
1．若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则(　　)
A．T＝π，A＝1 B．T＝2π，A＝1
C．T＝π，A＝2 D．T＝2π，A＝2
答案　A
2．函数f(x)＝－2tan的定义域是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
解析　由2x＋≠kπ＋，k∈Z，
得x≠＋，k∈Z.
3．函数y＝3cos的单调递减区间是________．
答案　，k∈Z
解析　因为y＝3cos，
令2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，
求得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
可得函数的单调递减区间为，k∈Z.
题型一　三角函数的定义域和值域
例1　(1)函数y＝的定义域为________．
答案　
解析　要使函数有意义，
则
即
故函数的定义域为.
(2)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________．
答案　
解析　设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin x·cos x，sin xcos x＝，
且－≤t≤.
∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1，
t∈[－，]．
当t＝1时，ymax＝1；
当t＝－时，ymin＝－.
∴函数的值域为.
教师备选
1．函数y＝的定义域为________．
答案　(k∈Z)
解析　要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，
如图所示．
在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为.
2．函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．
答案　1
解析　由题意可得
f(x)＝－cos2x＋cos x＋
＝－2＋1.
∵x∈，
∴cos x∈[0,1]．
∴当cos x＝，即x＝时，f(x)取最大值为1.
思维升华　(1)三角函数定义域的求法
求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数的图象来求解．
(2)三角函数值域的不同求法
①把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域．
②把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域．
③利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域．
跟踪训练1　(1)(2021·北京)函数f(x)＝cos x－cos 2x，试判断函数的奇偶性及最大值(　　)
A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2
C．奇函数，最大值