人教版高中数学第4章 §4.6　函数y＝Asin(ωx＋φ).docx

§4.6　函数y＝Asin(ωx＋φ)
考试要求　1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．
知识梳理
1．简谐运动的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)
(A>0，ω>0)，x≥0
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点
ωx＋φ
0
π
2π
x
y＝Asin
(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
常用结论
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
2．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y＝sin x.(　×　)
(2)将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象．(　√　)
(3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.(　×　)
(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为.(　√　)
教材改编题
1．为了得到函数y＝sin的图象，只要把y＝sin 3x的图象(　　)
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
答案　C
2．为了得到y＝3cos的图象，只需把y＝3cos图象上的所有点的(　　)
A．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变
B．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变
C．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
答案　D
3．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，A>0,0<φ<π，则这段曲线的函数解析式为__________________________．
答案　y＝10sin＋20，x∈[6,14]
解析　从题图中可以看出，从6～14时的图象是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期，
所以A＝×(30－10)＝10，
b＝×(30＋10)＝20，
又×＝14－6，
所以ω＝.
又×10＋φ＝2kπ，k∈Z，0<φ<π，
所以φ＝，
所以y＝10sin＋20，x∈[6,14].
题型一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例1　(1)(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)等于(　　)
A．sin B．sin
C．sin D．sin
答案　B
解析　依题意，将y＝sin的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图象，
所以y＝siny＝sin的图象f(x)＝sin的图象．
(2)(2022·天津二中模拟)将函数y＝sin 2x的图象向左平移φ个单位长度后，得到函数y＝cos的图象，则φ等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　y＝sin 2x＝cos.
将函数y＝sin 2x的图象向左平移φ个单位长度后，
得到函数y＝cos
＝cos
＝cos，
由题意知2φ－＝＋2kπ(k∈Z)，
则φ＝＋kπ(k∈Z)，
又0≤φ<，所以φ＝.
教师备选
1．要得到函数y＝cos的图象，可以把函数y＝sin的图象(　　)
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
答案　D
解析　函数y＝cos
＝sin
＝sin
＝sin，
所以只需将y＝sin的图象向左平移个单位长度就可以得到y＝cos的图象．
2．(2020·江苏)将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____