人教版高中数学第05讲 数列章节总结 (精讲）（教师版）.docx

第05讲 数列章节总结 (精讲）
一、数列求通项
题型一：数列前项和法
题型二：数列前项积法
题型三：累加法；累乘法
题型四：构造法
题型五：倒数法
题型六：隔项等差(等比）数列
二、数列求和
题型一：倒序相加法
题型二：分组求和法
题型三：裂项相消法
题型四：错位相减法
题型五：奇偶项讨论求和
题型六：插入新数列混合求和
一、数列求通项
题型一：数列前项和法
例题1．设正项数列的前项和为，且.
求的通项公式；
【答案】(1)
当时，，即，
解得或（舍），
∴，
因为，
所以当时，，
∴，
∴.
∵，∴，
∴是以7为首项，3为公差的等差数列，
∴.
例题2．已知数列的前项和为，，且，．
求数列的通项公式；
【答案】(1)
当时，，
故，又，且，
，满足，
故数列为公差为3的等差数列，通项公式为，
例题3．已知数列的首项，前项和为，且满足．
求及；
【答案】(1)；
由，得．
因为，所以．
又①，②，
①②得 即．
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
故．
例题4．已知数列满足．
求数列的通项公式；
【答案】(1) (2)
⑴             ①
        ②
①②可得
当时，
数列的通项公式为
例题5．已知数列满足：，．
求数列的通项公式；
【答案】（1）（）．（2）证明见解析
由已知得
由，①
得时，，②
①-②得
∴，
也适合此式，
∴（）．
例题6．各项均为正数的数列的前项和为，，数列为等比数列，且.
(1)求数列､的通项公式；
【答案】(1)，
∵①，
∴，∵，∴
当时，②，
由①-②得
∴，又，
∴，
∴数列是公差为1，首项为1的等差数列.
∴
∵，，数列为等比数列，
∴
例题7．设数列满足，.
求数列的通项公式；
【答案】（1）；
因为，， ①
所以当时，.
当时，，②
①-②得，．
所以.
因为，适合上式，所以.
例题8．已知正项数列满足，前n项和满足
求数列的通项公式；
【答案】(1)；
解：∵
∴
∴，∴是以1为首项，1为公差的等差数数列，
∴，即，
当时，，
当时，也成立，
∴.
例题9．已知数列的前n项和，满足，.
求证：数列是等差数列；
【答案】(1)证明见解析
证明：∵
∴
由已知易得，
∴
∴数列是首项，公差为的等差数列；
例题10．已知首项为1的数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
依题意，，
故，
因为，所以，
又，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以，．
当时，，
又当n＝1时，也满足上式，所以．
题型二：数列前项积法
例题1．数列的前项和为，数列的前项积为，且．求
和的通项公式；
【答案；
当时，，当时，，
所以，因为，所以，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以；
当时，，当时，，时也符合，所以．
例题2．已知数列满足．
求数列的通项公式：
【答案】(1)；
由题意，数列满足，
则：当时，，
得：，
当时，，所以：．
由于：，
所以：，
则：
．
例题3．设各项为正数的数列的前项和为，数列的前项积为，且．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式．
【答案】(1)证明见解析；(2)
(1)当时，，即，则，
当时，由得：，所以，
所以数列是以为首项，2为公差的等差数列.
(2)由（1）可知，解得，
所以，经检验，满足，
，
当时，，由（1）知，
综上所述，
例题4．已知数列的前n项积.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，数列的前项为，求的最小值.
【答案】(1)(2)
(1).
当时，；
当时，，也符合.
故的通项公式为.
(2)，
，
是以为首项，2为公差的等差数列，
，
当时，的最小值为.
例题5．设首项为2的数列的前项积为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
(1)∵，
∴，即，
由累乘法得，
，
当时，也满足上式，
∴.
(2)由（1）知，，
∴，
则
例题6．已知数列的前项积，数列为等差数列，且，．
(1)求与的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)，．(2).
(1)解：因为数列的前