人教版高中数学第05讲 复数 (精讲+精练）（教师版）.docx

第05讲 复数 (精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：复数的概念
高频考点二：复数的几何意义
高频考点三：待定系数求复数
高频考点四：复数的四则运算
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第05讲 复数（精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、复数的概念
我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足.全体复数所构成的集合叫做复数集.
复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做复数的实部与虚部.
2、复数相等
在复数集中任取两个数，，（），我们规定.
3、复数的分类
对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下:
4、复数的几何意义
（1）复数的几何意义——与点对应
复数的几何意义1：复数()复平面内的点
（2）复数的几何意义——与向量对应
复数的几何意义2：复数() 平面向量
5、复数的模
向量的模叫做复数)的模，记为或
公式：，其中
复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离；
特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值).
6、共轭复数
（1）定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.
（2）表示方法
表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则.
7、复数代数形式的加法（减法）运算
（1）复数的加法法则
设，，（）是任意两个复数，那么它们的和：
显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数
（2）复数的减法法则
类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作
注意：①两个复数的差是一个确定的复数；
②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.
8、复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值
（1）复数的三角形式
一般地，任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角.叫做复数的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分开来，叫做复数的代数表示式，简称代数形式.
注意：复数三角形式的特点口诀：
“模非负，角相同，余弦前，加号连”
（2）复数的俯角
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍.
复数0的辐角也是任意的，不讨论它的辐角主值.
我们规定在范围内的辐角的值为辐角的主值.
通常记作，即.
（3）复数代数形式和三角形式的互化
复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式.我们可以根据运算的需要，将复数的三角形式和代数形式进行互化.
复数的代数形式化三角形式的步骤:
①先求复数的模；
②决定辐角所在的象限；
③根据象限求出辐角(常取它的主值)；
④写出复数的三角形式．
（4）三角形式下复数的相等
两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：
两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等．
9、复数三角形式的乘法
设，的三角形式分别是：，，则
简记为 ：模数相乘，幅角相加
10、复数三角形式的除法
设，，且，
因为，
所以根据复数除法的定义，有.
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
简记为 ：模数相除，幅角相减
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
一、判断题
1．（2021·全国·高一课时练****对于复数，若，则z是实数；若，则z是纯虚数( )
【答案】错误
当且时，z是纯虚数, 所以若，则z是纯虚数或者是非纯虚数，所以错误.故答案为：错误.
2．（2021·全国·高一课时练****的实部等于3，虚部等于4i( )
【答案】错误
的虚部是4.
故答案为;错误.
3．（2021·全国·高一课时练****自然数是有理数，但不是复数( )
【答案】错误
自然数是复数，
故答案为：错误.
二、单选题
1．（2022·云南昆明·一模（文））复数z在复平面内对应的点的坐标为，则（     ）
A． B．
C． D．
【答案】D
依题意.
故选：D
2．（2022·内蒙古·赤