人教版高中数学第5讲　第2课时　直线与椭圆.doc

第2课时　直线与椭圆
考点一　直线与椭圆的位置关系(基础型)
研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．
1．不论k为何值，直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是(　　)
A．(0，1)　　　　　　　　　　 B．(0，7)
C．[1，7) D．(1，7]
解析：选C．直线y＝kx＋1恒过定点(0，1)，由题意知(0，1)在椭圆＋＝1上或其内部，所以有≤1，得m≥1.又椭圆＋＝1的焦点在x轴上，所以m＜7.综上，1≤m＜7.
2．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有且只有一个公共点；
(2)没有公共点．
解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③
方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，
可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，
即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(2)当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．
利用判别式处理直线与椭圆的位置关系的方法
[注意]　对于椭圆方程，在第二步中得到的方程的二次项系数一定不为0，故一定为一元二次方程．
　
考点二　弦长问题(综合型)
设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝
已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若斜率为－1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D，且＝，求出直线l的方程．
【解】　设直线l的方程为y＝－x＋m，
由题意知F1，F2的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，
所以以线段F1F2为直径的圆为x2＋y2＝1，
由题意知圆心(0，0)到直线l的距离d＝＜1，
得|m|＜.|AB|＝2＝2＝×，
联立得消去y，得7x2－8mx＋4m2－12＝0，
由题意得Δ＝(－8m)2－4×7×(4m2－12)＝336－48m2＝48(7－m2)＞0，解得m2＜7，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
|CD|＝|x1－x2|＝× ＝× ＝×＝|AB|＝××，解得m2＝＜7，得m＝±.
即存在符合条件的直线l，其方程为y＝－x±.
求解直线被椭圆截得弦长的方法
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．
(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长|AB|＝＝|x1－x2|＝·|y1－y2|(k≠0)．　
　已知点A(－2，0)，B(0，1)在椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上，则椭圆C的方程为________；若直线y＝x交椭圆C于M，N两点，则|MN|＝________．
解析：由题意可知，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦点在x轴上，由点A(－2，0)，B(0，1)在椭圆上，则a＝2，b＝1，所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则消去y，整理得2x2＝4，则x1＝，x2＝－，y1＝，y2＝－，则|MN|＝ ＝.
答案：＋y2＝1　
考点三　中点弦问题(综合型)
对于中点弦问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在用根与系数的关系时，要注意前提条件Δ＞0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．
(1)已知椭圆＋y2＝1，则斜率为2的平行弦中点的轨迹方程为________．
(2)焦点是F(0，5)，并截直线y＝2x－1所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为________．
【解析】　(1)设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为P(x0，y0)，
通解：有＋y＝1， ＋y＝1.
两式作差，得＋(y2－y1)(y2＋y1)＝0.因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝kAB，代入后求得kAB＝－.即2＝－，所以x0＋4y0＝0.
优解：由kAB·kOP＝－得2·＝－，即x0＋4y0＝0.
故所求的轨迹方程为x＋4y＝0，将x＋4y＝0代入＋y2＝1得：＋＝1，解得x＝±，
又中点在椭圆内，所以－＜x＜.
(2)通解：设所求的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，直线被椭圆所截弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由题意，可得弦AB的中点坐标为，且＝，＝－.