人教版2021届高考二轮精品专题三 排列组合、二项式定理 教师版.docx

2017年高考“最后三十天”专题透析
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专题 3
××
排列组合、二项式定理
命题趋势
排列组合多以实际生活为背景对其应用进行考查，在解答题中常与概率统计等知识综合命题，主要考查逻辑推理的核心素养．二项式定理主要考查运算求解能力，比如二项展开式某项的系数，注意转化与化归的思想．
考点清单
1．排列、组合的定义
排列的定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
组合的定义
合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
2．排列数、组合数的定义、公式、性质
排列数
组合数
定
义
从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N∗)个元素的所有不同排列的个数
从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N∗)个元素的所有不同组合的个数
公
式
性
质
Ann=n!，0!=1
Cn0=1，Cnm=Cnn−m，Cnm+Cnm−1=Cn+1m
正确理解组合数的性质
（1）Cnm=Cnn−m：从n个不同元素中取出m个元素的方法数等于取出剩余n−m个元素的方法数．
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（2）Cnm+Cnm−1=Cn+1m：从n+1个不同元素中取出m个元素可分以下两种情况：①不含特殊元素A有Cnm种方法；②含特殊元素A有Cnm−1种方法．
3．二项式定理
（1）二项式定理：(a+b)n=Cn0an+Cn1an−1b+⋯+Cnkan−kbk+⋯+Cnnbn(n∈N∗) ❶；
（2）通项公式：Tk+1=Cnkan−kbk，它表示第k+1项；
（3）二项式系数：二项展开式中各项的系数为Cn0，Cn1，⋯，Cnn❷．
4．二项式系数的性质
（1）①项数为n+1．
②各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n．
③字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n．
（2）二项式系数与项的系数的区别
二项式系数是指Cn0，Cn1，…，Cnn，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．如(a+bx)n的二项展开式中，第k+1项的二项式系数是Cnk，而该项的系数是Cnkan−kbk．
当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的．
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精题集训
（70分钟）
经典训练题
一、选择题．
1．由0，1，2，5四个数组成没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数是（ ）
A．24 B．12 C．10 D．6
【答案】C
【解析】当个位数是0时，有A33=6个；当个位数是5时，有C21⋅A22=4个，
所以能被5整除的个数是10，故选C．
【点评】本题主要考查了分类计数原理，以及排列的思想，属于基础题．
2．琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”．为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】从这十种乐器中挑八种全排列，有情况种数为．
从除琵琶、二胡、编钟三种乐器外的七种乐器中挑五种全排列，有种情况，
再从排好的五种乐器形成的6个空中挑3个插入琵琶、二胡、编钟三种乐器，有种情况，
故琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的情况种数为，
所以所求的概率，故选B．
【点评】排列组合常用的方法有：一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法．
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3．今年3月10日湖北武汉某方舱医院“关门大吉”，某省驰援湖北“抗疫”的9名身高各不相同的医护人员站成一排合影留念，庆祝圆满完成“抗疫”任务，若恰好从中间往两边看都依次变低，则身高排第4的医护人员和最高的医护人员相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将身高