人教高中数学第8节 函数与方程.doc

第8节　函数与方程
考试要求　1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解.
1.函数的零点
(1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：
2.函数零点存在定理
(1)条件：①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0.
(2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.
2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.
3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数f(x)＝2x的零点为0.(　　)
(2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b)⊆D内有零点，则f(a)·f(b)<0.(　　)
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)√
解析　(2)f(a)·f(b)＜0是连续函数y＝f(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错误.
2.(多选)(2021·威海调研)下列说法中正确的是(　　)
A.函数f(x)＝x＋1的零点为(－1，0)
B.函数f(x)＝x＋1的零点为－1
C.函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点
D.函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标
答案　BD
解析　根据函数零点的定义，可知f(x)＝x＋1的零点为－1.函数y＝f(x)的零点，即函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，因此B，D正确，A，C错误.
3.(2022·武汉期末)函数f(x)＝3x＋x－2的零点所在的一个区间是(　　)
A.(0，1) B.(1，2)
C.(－2，－1) D.(－1，0)
答案　A
解析　f(0)＝－1，f(1)＝2，故f(0)f(1)＜0，由零点存在定理可知f(x)的零点所在的一个区间是(0，1).
4.(2019·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
答案　B
解析　由2sin x－sin 2x＝0，得sin x＝0或cos x＝1.
又x∈[0，2π]，由sin x＝0，得x＝0，π，2π.
由cos x＝1，得x＝0，2π.
∴f(x)＝0有三个实根0，π，2π，即f(x)在[0，2π]上有三个零点.
5.(易错题)函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为________.
答案　0或－
解析　当a＝0时，f(x)＝－x－1，
令f(x)＝0得x＝－1，
故f(x)只有一个零点为－1.
当a≠0，则Δ＝1＋4a＝0，
∴a＝－.
6.函数f(x)＝x·2x－kx－2在区间(1，2)内有零点，则实数k的取值范围是________.
答案　(0，3)
解析　令f(x)＝0，∴x·2x－kx－2＝0，即k＝2x－，
即y＝k与φ(x)＝2x－，x∈(1，2)的图象有交点，
又φ(x)＝2x－在(1，2)上单调递增，
且φ(1)＝0，φ(2)＝3.
∴0＜k＜3.
　考点一　函数零点所在区间的判断
1.(多选)(2021·菏泽质检)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点(　　)
A.(－2，－1) B.(－1，0)
C.(0，1) D.(1，2)
答案　AD
解析　f(－2)＝＞0，f(－1)＝－1<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－3<0，f(2)＝e2－4>0，因为f(－2)·f(－1)＜0，f(1)·f(2)<0，所以f(x)在(－2，－1)和(1，2)内存在零点.
2.函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　)
A.(1，3) B.(1，2) C.(0，3) D.(0，2)
答案　C
解析　因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在