人教高中数学第9讲 空间角（教师版）.docx

第9讲 空间角
真题展示
2022新高考一卷第9题
已知正方体，则　　
A．直线与所成的角为
B．直线与所成的角为
C．直线与平面所成的角为
D．直线与平面所成的角为
【思路分析】求出异面直线所成角判断；证明线面垂直，结合线面垂直的性质判断；分别求出线面角判断与．
【解析】如图，
连接，由，，得四边形为平行四边形，
可得，，直线与所成的角为，故正确；
，，，平面，而平面，
，即直线与所成的角为，故正确；
设，连接，可得平面，即为直线与平面所成的角，
，直线与平面所成的角为，故错误；
底面，为直线与平面所成的角为，故正确．
故选：．
【试题评价】本题考查空间中异面直线所成角与线面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．
试题亮点 正方体是最常见的几何形体之一，它虽然结构简单，但却拥有丰富的几何性质.试题简洁明了，考查目的明确，考查内容源于教材，属于学生知识储备中的基础性知识。考生只需具有基本的空间想象能力和构图能力，通过简单的运算求解即可得到正确答案．试题对中学数学教学具有积极的引导作用和指导意义.试题面向全体考生，同时也为不同能力层次的考生提供了多样性展示平台，增强考生自信心，促进考生正常发挥水平.
知识要点整理
一、线线平行的向量表示
设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则
l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2.
二、　线面平行的向量表示
设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则
l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0.
三、　面面平行的向量表示
设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则
α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 .
四、线线垂直的向量表示
设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则
l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.
五、　线面垂直的向量表示
设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn.
六、　面面垂直的向量表示
设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则
α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.
七、两个平面的夹角
平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角．
八、　 空间角的向量法解法
角的分类
向量求法
范围
两条异面直线所成的角
设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝
直线与平面所成的角
设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝
两个平面的夹角
设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝
三年真题
一、单选题
1．如图，是直三棱柱，，点，分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，，，，
可得，，
，
此时，与所成角的余弦值是.
故选：A
2．如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别为和的中点，那么直线AM与CN夹角的余弦值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】建立如图所示空间直角坐标系：
则，
所以，
所以，
故选：D
3．正三棱柱中，若，则与所成的角的大小为（    ）
A．60° B．90° C．45° D．120°
【答案】B
【详解】设，，，，
则，，
，
∴，∴与所成的角的大小是，
故选：B
4．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱,且，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设CA＝2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得＝(－2,2,1)，＝(0,2，－1)，由向量的夹角公式得cos〈，〉＝
5．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：以D点为坐标原点，以DA、DC、所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），（0，2，1）∴ =（-2