人教高中数学第10章 §10.1　两个计数原理.docx

§10.1　两个计数原理
考试要求　1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．
知识梳理
两个计数原理
(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ m＋n种不同的方法．
(2)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
常用结论
两个计数原理的区别与联系
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
相同点
用来计算完成一件事的方法种数
不同点
分类、相加
分步、相乘
每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事
每步依次完成才算完成这件事情(每步中的每一种方法不能独立完成这件事)
注意点
类类独立，不重不漏
步步相依，缺一不可
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(　×　)
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．(　√　)
(3)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．(　
×　)
(4)从甲地经丙地到乙地是分步问题．(　√　)
教材改编题
1．某同学逛书店，发现3本喜欢的书，决定至少买其中的一本，则购买方案有(　　)
A．3种 B．6种
C．7种 D．9种
答案　C
解析　买一本，有3种方案；买两本，有3种方案；买三本，有1种方案，因此共有方案3＋3＋1＝7(种)．
2．被誉为“大飞鱼”的深圳宝安机场T3航站楼，充分结合了建筑设计理念和深圳本地环境气候等重要因素，融合了建筑美学、绿色节能和功能实用等多方面元素.2021年9月25日晚21时50分，被加拿大非法扣留的孟晚舟乘坐的CA552航班平安抵达深圳宝安国际机场．某志愿者前去接机，机场T3航站楼有7个入口，2个接机口(出口)，则该志愿者进出机场的方案数为(　　)
A．4 B．9 C．14 D．49
答案　C
解析　方案种数为7×2＝14.
3．3个班分别从5个风景点中选择一处游览，不同的选法有 种．
答案　125
解析　因为第1个班有5种选法，第2个班有5种选法，第3个班有5种选法，所以由分步乘法计数原理可得，不同的选法有5×5×5＝125(种).
题型一　分类加法计数原理
例1　(1)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有(　　)
A．60种 B．63种
C．65种 D．66种
答案　D
解析　要想同时取4个不同的数使其和为偶数，则取法有三类：
①4个数都是偶数，有1种取法；
②2个数是偶数，2个数是奇数，有C·C＝60(种)取法；
③4个数都是奇数，有5种取法．根据分类加法计数原理，不同的取法共有1＋60＋5＝66(种)．
(2)如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2且a2>a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为
．
答案　240
解析　若a2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120与121，共2个．若a2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2×3＝6(个)．若a2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12(个)，…，若a2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72(个)．所以所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个)．
教师备选
1．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(　　)
A．4种 B．10种 C．18种 D．20种
答案　B
解析　依题意得，可能剩余一本画册或一本集邮册两种情况．第一类，剩余的是一本画册，此时满足题意的赠送方法共有4种；第二类，剩余的是一本集邮册，此时满足题意的赠送方法共有C＝6(种)．因此，满足题意的赠送方法共有4＋6＝10(种)．
2．如图所示，某景观湖内有四个人工小岛，为方便游客登岛观赏美景，现计划设计三座景观桥连通四个小岛，每座桥只能连通两个小岛，且每个小岛最多有两座桥连接，则设计方案的种数最多是(　　)
A．8 B．12 C．16 D．24
答案　B
解析　四个人工小岛分别记为A，B，C，D，对A分有一座桥相连和两座桥相连两种情况，用“－”表示桥．
①当A只有一座桥相连时，有A－B－C－D