人教高中数学第10章 §10.7　离散型随机变量及其分布列、数字特征.docx

§10.7　离散型随机变量及其分布列、数字特征
考试要求　1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随机变量的数字特征．
知识梳理
1．离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．
3．离散型随机变量的分布列的性质
①pi≥0(i＝1,2，…，n)；
②p1＋p2＋…＋pn＝1.
4．离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
(1)均值
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)方差
称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度．
5．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．
常用结论
均值与方差的四个常用性质
(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．
(2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．
(3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.
(4)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面的次数是随机变量．(　√　)
(2)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　×　)
(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(　√　)
(4)方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小．(　√　)
教材改编题
1．设随机变量X的分布列如下：
X
1
2
3
4
5
P
p
则p为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由分布列的性质知，
＋＋＋＋p＝1，
∴p＝1－＝.
2．若随机变量X满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，则D(X)的值为________．
答案　0
解析　因为P(X＝c)＝1，
所以E(X)＝c×1＝c，
所以D(X)＝(c－c)2×1＝0.
3．已知随机变量X的分布列如下：
X
－1
0
1
P
若Y＝2X＋3，则E(Y)的值为________．
答案　
解析　E(X)＝－＋＝－，
则E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝.
题型一　分布列的性质
例1　(1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X
－1
0
1
P
1－q
q－q2
则q等于(　　)
A．1 B.或－
C．1＋ D.
答案　D
解析　由离散型随机变量分布列的性质得
解得q＝.
(2)(多选)设随机变量ξ的分布列为P＝ak(k＝1,2,3,4,5)，则(　　)
A．a＝
B．P＝
C．P＝
D．P(ξ＝1)＝
答案　AB
解析　对于选项A，
∵随机变量ξ的分布列为
P＝ak(k＝1,2,3,4,5)，
∴P＋P＋P＋P＋P(ξ＝1)
＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝15a＝1，
解得a＝，故A正确；
对于B，易知
P＝P＝3×＝，
故B正确；
对于C，易知
P＝P＋P
＝＋2×＝，
故C错误；
对于D，易知P(ξ＝1)＝5×＝，故D错误．
教师备选
1．设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X
0
1
P
9a2－a
3－8a
则常数a的值为(　　)
A. B.
C.或 D．－或－
答案　A
解析　由分布列的性质可知解得a＝.
2．离散型随机变量X的概率分布列为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　因为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，
所以＋＋＋＝1，所以a＝，
所以P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝×＋×＝.
思维升华　离散型随机变量分