人教高中数学第10章 §10.9　概率与统计的综合问题.docx

§10.9　概率与统计的综合问题
题型一　频率分布直方图与分布列的综合问题
例1　(2022·湖北九师联盟模拟)某校高三年级举行了高校强基计划模拟考试(满分100分)，将不低于50分的考生的成绩分为5组，即[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并绘制频率分布直方图如图所示，其中在[90,100]内的人数为3.
(1)求a的值，并估计不低于50分考生的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；
(2)现把[50,60)和[90,100]内的所有学生的考号贴在质地、形状和大小均相同的小球上，并放在盒子内，现从盒中随机抽取2个小球，若取出的两人成绩差不小于30，则称这两人为“黄金搭档组”．现随机抽取4次，每次取出2个小球，记下考号后再放回盒内，记取出“黄金搭档组”的次数为X，求X的分布列和均值E(X)．
解　(1)由题意，得(0.005＋0.01＋0.015＋a＋0.045)×10＝1，解得a＝0.025，
不低于50分考生的平均成绩估计为55×0.1＋65×0.25＋75×0.45＋85×0.15＋95×0.05＝73(分)．
(2)在[90,100]上的频率为0.005×10＝0.05，由条件得总人数为＝60，
所以在[50,60]内的人数为60×0.1＝6，每次抽取出‘黄金搭档组”的概率P＝＝，
因此X～B，
P(X＝0)＝C×0×4＝，
P(X＝1)＝C×1×3＝，
P(X＝2)＝C×2×2＝，
P(X＝3)＝C×3×1＝，
P(X＝4)＝C×4×0＝，
X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
E(X)＝np＝4×＝2.
教师备选
(2022·湛江模拟)某高三学生小明准备利用暑假的7月和8月勤工俭学，现有“送外卖员”和“销售员”两份工作可供其选择．已知“销售员”工作每日底薪为50元，每日销售的前5件每件奖励20元，超过5件的部分每件奖励30元．小明通过调查，统计了100名销售员1天的销售记录，其柱状图如图1；“送外卖员”没有底薪，收入与送的单数相关，在一日内：1至20单(含20单)每送一单3元，超过20单且不超过40单的部分每送一单4元，超过40单的部分，每送一单4.5元．小明通过随机调查，统计了100名送外卖员的日送单数，并绘制成如下频率分布直方图(如图2)．
图1
图2
(1)分别求出“销售员”的日薪y1(单位：元)与销售件数x1的函数关系式、“送外卖员”的日薪y2(单位：元)与所送单数x2的函数关系式；
(2)若将频率视为概率，根据统计图，试分别估计“销售员”的日薪X1和“送外卖员”的日薪X2(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)的均值，分析选择哪种工作比较合适，并说明你的理由．
解　(1)“销售员”的日薪y1(单位：元)与销售件数x1的函数关系式为
y1＝
“送外卖员”的日薪y2(单位：元)与所送单数x2的函数关系式为
y2＝
(2)由柱状图知，日平均销售量满足如下表格：
销售量/件
3
4
5
6
7
频率
0.05
0.2
0.25
0.4
0.1
所以X1的分布列为
X1
110
130
150
180
210
P
0.05
0.2
0.25
0.4
0.1
所以E(X1)＝110×0.05＋130×0.2＋150×0.25＋180×0.4＋210×0.1＝162(元)．
由频率分布直方图可知，日送单数满足如下表格：
单数/单
10
30
50
70
90
频率
0.05
0.25
0.45
0.2
0.05
所以X2的分布列为
X2
30
100
185
275
365
P
0.05
0.25
0.45
0.2
0.05
所以E(X2)＝30×0.05＋100×0.25＋185×0.45＋275×0.2＋365×0.05＝183(元)．
由以上计算得E(X2)>E(X1)，做“送外卖员”挣的更多，
故小明选择做“送外卖员”的工作比较合适．
思维升华　高考常将频率分布直方图与分布列等交汇在一起进行考查，因此在解答此类题时，准确的把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所属的事件类型是关键．
跟踪训练1　(2022·太原模拟)国家发改委、住建部发布了《生活垃圾分类制度实施方案》规定46个城市实施生活垃圾强制分类，垃圾回收利用率要达35%以上．某市在实施垃圾分类之前，对该市大型社区(即人口数量在1万左右)一天产生的垃圾量(单位：吨)进行了调查．已知该市这样的大型社区有200个，如图是某天从中随机抽取50个社