人教高中数学第14讲 圆与圆的位置关系（教师版）.docx

第14讲 圆与圆的位置关系
真题展示
2022新高考一卷第14题
写出与圆和都相切的一条直线的方程 　（填，都正确）　．
【思路分析】由题意画出图形，可得两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．分别求出三条切线方程，则答案可求．
【解析】【解法一】(特殊点对称法)圆的圆心坐标为，半径，
圆的圆心坐标为，半径，
如图：
，两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．
，的斜率为，设直线，即，
由，解得（负值舍去），则；
由图可知，；与关于直线对称，
联立，解得与的一个交点为，在上取一点，
该点关于的对称点为，，则，解得对称点为，．
，则，即．
与圆和都相切的一条直线的方程为：
（填，都正确）．
故答案为：（填，都正确）．
【解法二】(转化过点的圆切线)：显然两圆的圆心距为5=1+4，即两圆相外切，故两圆有三条公切线。
设两圆的圆心分别为O，M，易得OM：3y=4x，与圆O方程联立解得x=，y=(只取第一象限)，从而两圆的公切点为N(，)，过N与OM垂直的直线方程为y−=(x−)，即3x+4y−5=0.此为过N的两圆的一条公切线。
延长MO到P，使得4=，则P为另两条公切线的交点，且==(−1,− )，
当切线的斜率不存在时，过P与圆O相切的直线为x+1=0，适合题意；
当切线斜率存在时，设切线方程为y+=k(x+1)，则由点到直线的距离公式得=1，解得k=，故切线方程为y+=(x+1)，即7x−24y−25=0.
综上，两圆的三条公切线方程为：3x+4y−5=0，x+1=0，7x−24y−25=0。
【解法三】(硬算)：当两圆的公切线斜率不存在时，设切线为x=m，则|m|=1且|m−3|=4，解得m=−1，故两圆的一条公切线为x=−1；
当两圆的公切线斜率存在时，设两圆的公切线为y=kx+b，则=1，且=4,联立解得或故两圆的公切线方程为y=x+，y=x。
综上，两圆的三条公切线方程为：x=−1，y=x+，y=x。
【试题评价】本题考查圆的切线方程的求法，考查圆与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
考查目标
试题以两个已知圆为背景，通过圆的方程可知两个圆的基本信息以及两个圆的位置关系，由此可以求出所求公共切线的方程. 试题考查了圆与圆、直线和圆的位置关系等基本概念，重点考查了考生逻辑推理能力、运算求解能力和综合运用知识解决问题的能力.试题的解法以通性通法为基础，为不同能力水平的考生提供了展示空间．如果考生能够将数与形相结合，那么运算过程将更为简捷.
试题亮点
试题背景来源于教材，考查了直线和圆的基本性质，对平面几何与解析几何等知识综合应用的考查作了较好的设计.若考生从问题的简单情景中能应用圆的定义去分析问题，则解答过程会更加简捷，从而体现出考生思维的灵活性．试题为考生提供的思考角度是多样的，考生可以根据自己的能力水平想到不同的解题路径和方法．试题对考生的数学运算、逻辑推理等数学学科素养的考查有较好的体现.
此外，试题具有很好的开放性.考生可以用通性通法求解，但相对而言有些方法计算会复杂一些．因此，试题突出考查考生的逻辑推理能力，通过"看一看""推一推""想一想""算一算"，能够对不同思维水平的考生进行区分，全面系统地考查考生对核心概念、基本原理、基本方法的掌握程度．试题基于数学的基础知识，但又打破了固有的命题模式.
知识要点整理
知识点一　圆的标准方程
(1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r.
(2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2.
知识点二　点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法
位置关系
利用距离判断
利用方程判断
点M在圆上
|CM|＝r
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点M在圆外
|CM|>r
(x0－a)2＋(y0－b)2>r2
点M在圆内
|CM|<r
(x0－a)2＋(y0－b)2<r2
知识点三　圆的一般方程
1．圆的一般方程
当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
条件
图形
D2＋E2－4F<0
不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0
表示一个点
D2＋E2－4F>0
表示以为圆心，以为半径的圆
知识点四　直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2个
1个
0个
判