人教高中数学第14讲 二次函数与幂函数（解析版）.docx

第14讲 二次函数与幂函数
【基础知识全通关】
知识点一 幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
知识点二 二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式：
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质
函数
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象(抛物线)
定义域
R
值域
对称轴
x＝－
顶点坐标
奇偶性
当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在上是减函数；
在上是增函数
在上是增函数；
在上是减函数
【特别提醒】
1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时恒有f(x)>0，当时，恒有f(x)<0.
【考点研****一点通】
考点01：二次函数的解析式
1.已知二次函数，满足且方程有两个相等实根．
（1）求函数的解析式；
（2）当且仅当时，不等式恒成立，试求，的值．
【答案】（1）；（2），．
【解析】
（1）由，以及二次方程有两个相等实根的条件：判别式为0，可得，的方程，解方程可得所求解析式；
（2）由，解不等式可得解集，再由题意可得原不等式的解集即为，，可得，的方程组，解方程可得所求值．
【详解】
解：（1）由，，可得，即，则，
方程有两个相等实根，即有两个相等实根，则，
所以，从而；
（2）不等式即为，化为，由，可得，
则不等式的解集为，，
又当且仅当，时，不等式恒成立，
可得，，，
所以且，解得，．
考点02：二次函数图象的识别
2.对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图像不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
当时，函数单调递减，开口向下，对称轴在y轴的左侧，排除C，D；
当时，函数单调递增，开口向上，对称轴在y轴的右侧，排除B；
故选：A
考点03：二次函数的单调性问题
3.已知函数，.
（1）若函数是区间上的单调函数，求实数的取值范围；
（2）求函数在区间上的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）由二次函数的单调性，根据对称轴与区间的关系求解；
（2）根据对称轴与区间的关系，分类讨论求解.
【详解】
因为，
所以函数的图象的对称轴为，且函数在区间上单调递减，
在区间上单调递增，
（1）因为函数在区间是单调函数，
所以或，
所以实数的取值范围为.
（2）（i）当，即时，
有在区间上单调递增，
所以，
（ii）当，即时，
有在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，
综上所述，函数在区间上的最小值.
考点04：二次函数的最值问题
4.已知二次函数的两个零点分别是0和5，图象开口向上，且在区间上的最大值为12．
（1）求的解析式；
（2）设函数在上的最小值为，求的解析式．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
（1）根据二次函数的图像性质求出函数解析式；（2）结合二次函数的单调性，及对称轴和区间的位置关系，分类讨论求出最小值为 g(t)的解析式.
【详解】
（1）因为二次函数的两个零点分别是0和5，图象开口向上，所以可设，
又在区间上的最大值为12，所以，．
．
（2），图象开口向上，对称轴为．
①当即时，在上是减函数，；
②当即时，；
③当时，在上是增函数，．
综上所述，.
【技巧点拨】
二次函数最值问题的类型及求解策略
(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．
(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．
考点05：二次函数的恒成立问题
5.已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，求实数a的取值范围．
【答案】．
【解析】
分类：适合，时，分离参数，求出右端的最小值即可得．
【详解】