人教高中数学第16讲 椭圆（教师版）.docx

第16讲 椭圆
真题展示
2022新高考一卷第16题
已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与交于，两点，，则的周长是 　13　．
【思路分析】根据已知条件，先设出含的椭圆方程，再结合三角形的性质，以及弦长公式，求出的值，最后再根据椭圆的定义，即可求解．
【解析】【解法一】(转化+定义):椭圆的离心率为，
不妨可设椭圆，，
的上顶点为，两个焦点为，，
△为等边三角形，
过且垂直于的直线与交于，两点，
，
由等腰三角形的性质可得，，，
设直线方程为，，，，，
将其与椭圆联立化简可得，，
由韦达定理可得，，，
，解得，
由椭圆的定义可得，的周长等价于．
故答案为：13．
【解法二】 (验证中点)：仿法一得a=2c,b=c,仿法一由DE=6算出c=从而a=.
如图，连接E，D，易知A的中点为M(,DE：y=(x+c)，显然M在直线DE，即DE是AF2的垂直平分线，从而AE=E，AD=D，故△ADE的周长为AD+AE+DE=D+E+DE= D+E+ D+E=4a=13.
【解法三】(硬算+巧开方)：由椭圆的离心率为可得a=2c，从而b=c，椭圆方程化为3+4=12，A(0, c),取为椭圆的左焦点，为椭圆的右焦点，易得A的斜率为−，故DE的斜率为，DE的方程为y=(x+c)，代入椭圆方程并整理得13+8cx−32=0，设D(,),E(,),则+=，=−,
于是DE====6，解得c=，
此时13+13x−=0，解得x=，取D(,),E(,)，A(0,),
AD==,AE==,
设223+84=，则解得m=14，n=3，故AD=，同理AE=，
故AD+AE=7，△ADE的周长为AD+AE+DE=13.
【解法四】 (硬算+巧平方)：仿上得到AD、AE的长度，设t=+，则=446+2=446+2=446+2×189=784=,故t=28，AD+AE=7.下同法三。
【解法五】(极坐标方程): ，则设，
由焦点弦公式，可知即，
由椭圆的定义可得，的周长等价于．
故答案为：13．
【试题评价】本题主要考查直线与椭圆的综合应用，需要学生很强的综合能力，属于中档题．
考查目标
直线、椭圆及相关几何量的计算是中学数学的必备知识.试题巧妙地将直线与椭圆的位置关系及有关度量的计算结合在一起，设计的问题既体现了基础性又具有挑战性.试题对考生的化归与转化、逻辑推理等方面的能力提出了较高的要求，有效地考查了考生的理性思维、数学探索等方面的数学学科素养，考查了考生的运算求解、逻辑思维等方面的关键能力.
试题亮点
试题对解析几何知识综合应用的考查做了很好的设计. 从试题的简单情景中应用椭圆的定义去分析问题、解决问题，可以体现考生思维的灵活性.试题具有较好的创新性与开放性，有诸多亮点. 试题的题设条件简洁，问题深入，既体现了数学之美，又体现了逻辑推理的重要性.考生在判断出△AF，F，为正三角形后进一步选择解题路径，这对考生准确灵活运用所学知识解决问题的能力、运用数形结合以及化归与转化等数学思想方法提出了较高要求．试题有效考查了考生的运算求解能力、逻辑思维能力和创新能力，以及理性思维、数学应用、数学探索等数学科素养.试题具有较好的开放性，给不同思维层次的考生提供了发挥的空间.考生可以采用不同的解题路径和方法.比如，考生可以利用对称性解决。
知识要点整理
知识点一　椭圆的定义
1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．
2．焦点：两个定点F1，F2.
3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|.
4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|.
知识点二　椭圆的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
b2＝a2－c2
知识点三　椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
范围
－a≤x≤a，－
－b≤x≤b，－
b≤y≤b
a≤y≤a
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长
短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点
(±，0)
(0，±)
焦距
|F1F2|＝2
对称性
对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点
离心率